Псевдообернена матриця

Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.

Матриця, псевдообернена до матриці ${\displaystyle \ A}$ позначається як ${\displaystyle \ A^{+}}$.

Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано ^[en] в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.

Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.

Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.

Визначення

Означення Мура

${\displaystyle \ A^{+}}$ називається псевдооберненою матрицею до матриці ${\displaystyle \ A}$, якщо вона задовольняє такі умови:

1. ${\displaystyle AA^{+}A=A}$             (${\displaystyle AA^{+}}$ чи ${\displaystyle A^{+}A}$ не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
2. ${\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+};}$
3. ${\displaystyle (AA^{+})^{*}=AA^{+}}$       (це означає, що ${\displaystyle AA^{+}}$ — ермітова матриця);
4. ${\displaystyle (A^{+}A)^{*}=A^{+}A}$       (${\displaystyle A^{+}A}$ — також ермітова матриця);

де ${\displaystyle A^{*}}$ — ермітово-спряжена матриця до матриці ${\displaystyle A}$.

Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід

${\displaystyle A^{+}=\lim _{\delta \to 0}(A^{*}A+\delta I)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \to 0}A^{*}(AA^{*}+\delta I)^{-1}}$

Ці границі існують, навіть якщо ${\displaystyle (AA^{*})^{-1}}$ і ${\displaystyle (A^{*}A)^{-1}}$ не комутують.

Властивості

• Псевдообернена матриця завжди існує і вона єдина.
• Псевдообернення нульової матриці дорівнює її транспонуванню.
• Псевдообернення є оборотним до самого себе:

${\displaystyle (A^{+})^{+}=A}$.

• Псевдообернення комутує з транспонуванням, спряженням і ермітовим спряженням:

${\displaystyle (A^{T})^{+}=(A^{+})^{T},\qquad ({\overline {A}})^{+}={\overline {A^{+}}},\qquad (A^{*})^{+}=(A^{+})^{*}.}$

• Ранг матриці дорівнює рангу її псевдооберненої:

${\displaystyle rank\ A^{+}=rank\ A}$

• Псевдообернення добутку матриці ${\displaystyle A}$ на скаляр ${\displaystyle \alpha }$ дорівнює добутку матриці ${\displaystyle A^{+}}$ на обернене число ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$:

${\displaystyle (\alpha A)^{+}=\alpha ^{-1}\;A^{+},\quad \forall \alpha \neq 0}$.

• Якщо вже відома матриця ${\displaystyle (A^{*}A)^{+}}$ чи матриця ${\displaystyle (AA^{*})^{+}}$, то їх можна використати для обчислення ${\displaystyle A^{+}}$:

${\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{+}\;A^{*}}$

${\displaystyle A^{+}=A^{*}\;(AA^{*})^{+}}$.

• Матриці ${\displaystyle \ A^{+}A,\;AA^{+}}$ — є ортогонально-проєкційними матрицями.
• Якщо матриця ${\displaystyle \ A_{i}}$ утворена з матриці ${\displaystyle \ A}$ за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,

то ${\displaystyle A_{i}^{+}}$ буде утворюватись з ${\displaystyle \ A^{+}}$ додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.

• Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим ${\displaystyle a_{i}\neq {\vec {0}}}$, то існує (формула Гревіля) для вираження ${\displaystyle A_{i}^{+}}$ через ${\displaystyle A,\;A^{+},\;a_{i}.}$

Часткові випадки

Ортонормовані стовпці чи рядки

• Якщо в матриці ${\displaystyle A}$ ортонормовані стовпці (${\displaystyle A^{*}A=I}$), або рядки (${\displaystyle AA^{*}=I}$), то:

${\displaystyle A^{+}=A^{*}}$.

Повний ранг

• Якщо стовпці матриці ${\displaystyle A}$ лінійно незалежні, тоді матриця ${\displaystyle (A^{*}A)}$ має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

${\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}}$

Отже ${\displaystyle A^{+}A=I}$, звідки слідує, що ${\displaystyle A^{+}}$ — ліва обернена матриця для A.

• Якщо рядки матриці ${\displaystyle A}$ лінійно незалежні, тоді матриця ${\displaystyle (AA^{*})}$ має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

${\displaystyle A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}}$

Отже ${\displaystyle AA^{+}=I}$, звідки слідує, що ${\displaystyle A^{+}}$ — права обернена матриця для A.

• Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:

${\displaystyle A^{+}=A^{-1}.}$

Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка ${\displaystyle \delta I\!}$ з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.

Псевдообернення добутку

Якщо матриці ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ такі, що добуток ${\displaystyle AB}$ визначений, а також:

• або A має ортонормовані стовпці (${\displaystyle A^{+}=A^{*}}$),
• або B має ортонормовані рядки (${\displaystyle B^{+}=B^{*}}$),
• або стовпці ${\displaystyle A}$ лінійно незалежні(${\displaystyle A^{+}A=I}$) і рядки ${\displaystyle B}$ лінійно незалежні(${\displaystyle BB^{+}=I}$).

Тоді:

${\displaystyle \ (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$.

Доводиться прямою підстановкою в визначення.

Скаляри і вектори

Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:

• Псевдообернення скаляра ${\displaystyle x}$ є скаляр

${\displaystyle x^{+}=\left\{{\begin{matrix}0,&x=0;\\x^{-1},&x\neq 0.\end{matrix}}\right.}$

• Псевдообернення вектора ${\displaystyle x}$ є вектор

${\displaystyle x^{+}=\left\{{\begin{matrix}0^{T},&x=0;\\{x^{*} \over x^{*}x},&x\neq 0.\end{matrix}}\right.}$

Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.

Обчислення

За допомогою A=BC розкладу

Нехай r — ранг матриці A розміру ${\displaystyle m\times n}$. Тоді A може бути представлена як ${\displaystyle A=BC}$, де B — матриця розміру ${\displaystyle m\times r}$, C — матриця розміру ${\displaystyle r\times n}$. Тоді

• ${\displaystyle A^{+}=C^{*}(CC^{*})^{-1}(B^{*}B)^{-1}B^{*}.}$

чи

• ${\displaystyle A^{+}=C^{*}(B^{*}AC^{*})^{-1}B^{*}}$

де ${\displaystyle (CC^{*})^{-1}(B^{*}B)^{-1}=(B^{*}BCC^{*})^{-1}=(B^{*}AC^{*})^{-1}}$ — матриця меншого розміру ${\displaystyle r\times r}$.

За допомогою QR розкладу

Матрицю A (представимо у вигляді) ${\displaystyle A=QR}$, де Q — унітарна матриця, ${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$, і R — верхня трикутна матриця. Тоді

${\displaystyle A^{*}A=(QR)^{*}(QR)=R^{*}Q^{*}QR=R^{*}R}$,

${\displaystyle A^{+}=(R^{*}R)^{+}A^{*}}$

…

За допомогою SVD розкладу

Якщо ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$ — (сингулярне представлення матриці) A, тоді

${\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}.}$

Для діагональної матриці, такої як ${\displaystyle \Sigma }$, псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.

За допомогою мінорів

Нехай k — ранг матриці A розміру ${\displaystyle m\times n}$.

Позначимо через ${\displaystyle A_{k}\!}$ матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A,
через ${\displaystyle A_{\overline {k}}}$ позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A,
через ${\displaystyle A_{kk\!}}$ матрицю з елементів на перетині ${\displaystyle A_{k}\!}$ з ${\displaystyle A_{\overline {k}}}$.

Тоді

${\displaystyle A^{+}=A_{\overline {k}}^{*}(A_{\overline {k}}A_{\overline {k}}^{*})^{-1}\cdot A_{kk}\cdot (A_{k}^{*}A_{k})^{-1}A_{k}^{*}}$

Застосування до СЛАР

• Система рівнянь ${\displaystyle \ Ax=b}$ може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі ${\displaystyle \ x}$ при яких мінімізується ${\displaystyle \|Ax-b\|^{2}.}$ Це розв'язок методом найменших квадратів.

• Загальний розв'язок системи ${\displaystyle \ Ax=b}$ є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи ${\displaystyle \ Ax=0.}$

• За визначенням, загальний розв'язок системи ${\displaystyle Ax=0\!}$ — це (ядро лінійного оператора) ${\displaystyle {A}\!}$:

${\displaystyle \ker {A}=Z(A)y\!}$

де:

${\displaystyle Z(A)=I-A^{+}A\!}$      (проектор на ${\displaystyle \ker {A}\!}$);

${\displaystyle y\!}$ — довільний вектор тієї ж розмірності що і ${\displaystyle x.\!}$

• Частковим розв'язком неоднорідної системи є ${\displaystyle \ x=A^{+}b,}$ він ортогональний до ${\displaystyle \ker {A}\!}$ і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.

• Загальний розв'язок

${\displaystyle \ Ax=b}$	єдиний розв'язок ${\displaystyle \det {A^{*}A}\neq 0\!}$	множина розв'язків ${\displaystyle \det {A^{*}A}=0\!}$
точні розв'язки є ${\displaystyle b^{*}Z(A)b=0\!}$	${\displaystyle x=A^{+}b\!}$	${\displaystyle \Omega _{x}=A^{+}b+\ker {A}\!}$
тільки приблизні розв'язки ${\displaystyle b^{*}Z(A)b\neq 0\!}$

• Відстань від довільної точки ${\displaystyle \ y}$ до множини розв'язків ${\displaystyle \ \Omega _{x}}$ рівна:

${\displaystyle \|P(A)(y-A^{+}b)\|=\|P(A)y-A^{+}b\|=\|A^{+}(Ay-b)\|,}$

де:

${\displaystyle P(A)=I-Z(A)\!}$      (проектор ортогональний до ${\displaystyle \ \ker {A}}$).

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436 с.