Правило добутку — характерна властивість диференціальних операторів, також відома як тотожність Лейбніца.
Найважливішим і найпростішим прикладом є диференціювання функцій дійсної змінної. Якщо — дві диференційовні функції, то:
Подібна формула справедлива і для голоморфних функцій комплексної змінної.
Окрім аналізу диференціальні оператори часто виникають в диференціальній геометрії, абстрактній алгебрі, теорії груп Лі.
Доведення для функцій дійсної змінної
Нехай , і функції f, g — диференційовні в точці x. Тоді з властивостей границь одержуються наступні рівності, які доводять правило добутку для функцій дійсної змінної:
-
- .
Варіації та узагальнення
- Нехай — деякі k елементів на яких діє оператор диференціювання (наприклад функції дійсної змінної диференційовні в певній точці для прикладу звичайної похідної). Тоді за допомогою математичної індукції правило добутку можна узагальнити для випадку добутку 'k' елементів:
- Позначивши і т. д. для оператора справедлива формула аналогічна до формули бінома Ньютона:
- Для випадку добутку багатьох елементів справедлива формула аналогічна до поліноміальної формули:
- Формули для похідних добутку функцій можна узагальнити на випадок функцій багатьох змінних. Нехай і є дійсними функціями n дійсних змінних, диференційовними необхідну кількість разів по різних змінних, і за означенням Тоді
- Означення біноміальних коефіцієнтів, факторіалів для мультиіндексів дано у статті Мультиіндекс.
- Операція на градуйованій алгебрі задовольняє градуйованій тотожності Лейбніца, якщо для будь-яких ,
- де — множення в . Більшість диференціювань на алгебрі диференціальних форм задовольняє цій тотожності.
Джерела
- http://posibnyky.vntu.edu.ua/m_a/page15.htm
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет