Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:
Якщо для числового ряду існує таке число , , що починаючи з деякого номера виконується нерівність то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера то ряд розбігається. |
Зокрема, якщо існує границя
-
(
)
то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо , а якщо — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.
Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:
- .
Тоді:
- якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний;
- якщо r > 1, ряд розбіжний;
- якщо для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що ненульове і зрозстаюче, а тому an не наближається до нуля;
- інакше результат не визначений.
Якщо границя в (1) існує, то . Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.
Приклади
1. Ряд
абсолютно збіжний для всіх комплексних , бо
2. Ряд
розбігається при всіх , бо
3. Якщо , то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди
і
задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.
Розширення для ρ = 1
Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.
У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σan це сума додатніх an. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:
де aN - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.
Цей розділ потребує доповнення. |
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.
- d'Alembert, J. (1768), Opuscules, т. V, с. 171—183.
- (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN : §8.14.
- Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN : §3.3, 5.4.
- (1976), Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN : §3.34.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Bertrand criterion, Математична енциклопедія, , ISBN
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Gauss criterion, Математична енциклопедія, , ISBN
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Kummer criterion, Математична енциклопедія, , ISBN
- Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (вид. 4th), Cambridge University Press, ISBN : §2.36, 2.37.
Примітки
- Rudin, 1976, §3.34
- Apostol, 1974, §8.14
- (1908). An Introduction To The Theory of Infinite Series. Merchant Books.
- (1954). Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd.
- Tong, Jingcheng (May 1994). Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series. The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450—452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
- Ali, Sayel A. (2008). The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series (PDF). The American Mathematical Monthly. 115 (6): 514—524. doi:10.1080/00029890.2008.11920558. S2CID 16336333. Процитовано 21 листопада 2018.
- Samelson, Hans (November 1995). More on Kummer's Test. The American Mathematical Monthly. 102 (9): 817—818. doi:10.2307/2974510. JSTOR 2974510.
- Blackburn, Kyle (4 травня 2012). The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests (PDF). University of Washington College of Arts and Sciences. Процитовано 27 листопада 2018.
- Ďuriš, František (2009). Infinite series: Convergence tests (Bachelor's thesis). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava. Процитовано 28 листопада 2018.
- Ďuriš, František (2 лютого 2018). On Kummer's test of convergence and its relation to basic comparison tests. arXiv:1612.05167 [math.HO].
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Oznaka D Alambera oznaka zbizhnosti chislovih ryadiv vstanovlena Zhanom D Alamberom v 1768 roci Yaksho dlya chislovogo ryadu n 0 an displaystyle sum n 0 infty a n isnuye take chislo q displaystyle q 0 lt q lt 1 displaystyle 0 lt q lt 1 sho pochinayuchi z deyakogo nomera vikonuyetsya nerivnist an 1an q displaystyle left frac a n 1 a n right leq q to danij ryad absolyutno zbigayetsya yaksho zh pochinayuchi z deyakogo nomera an 1an 1 displaystyle left frac a n 1 a n right geq 1 to ryad rozbigayetsya Zokrema yaksho isnuye granicya r limn an 1an displaystyle rho lim n to infty left frac a n 1 a n right 1 to ryad sho rozglyadayetsya absolyutno zbizhnij yaksho r lt 1 displaystyle rho lt 1 a yaksho r gt 1 displaystyle rho gt 1 rozbizhnij oznaka zbizhnosti D Alambera u granichnij formi Yaksho r 1 displaystyle rho 1 abo granicya ne isnuye test ne daye rezultatu bo ryadi yaki vidpovidayut takim vipadkam mozhut buti yak zbizhni tak i rozbizhni Oznaku d Alambera mozhna zastosuvati i v vipadkah koli granicya r displaystyle rho ne isnuye abo dorivnyuye odinici yaksho vikoristati verhnyu i nizhnyu granici Nehaj R lim n an 1an displaystyle R varlimsup n to infty left frac a n 1 a n right r lim n an 1an displaystyle r varliminf n to infty left frac a n 1 a n right Todi yaksho R lt 1 ryad absolyutno zbizhnij yaksho r gt 1 ryad rozbizhnij yaksho an 1an 1 displaystyle left frac a n 1 a n right geq 1 dlya vsih velikih n nezalezhno vid znachennya r ryad tezh rozbizhnij tomu sho an displaystyle a n nenulove i zrozstayuche a tomu an ne nablizhayetsya do nulya inakshe rezultat ne viznachenij Yaksho granicya r displaystyle rho v 1 isnuye to r R r displaystyle rho R r Takim chinom oznaka z verhnoyu i nizhnoyu graniceyu vklyuchaye v sebe oznaku zi zvichajnoyu graniceyu Prikladi1 Ryad n 0 znn displaystyle sum n 0 infty frac z n n absolyutno zbizhnij dlya vsih kompleksnih z displaystyle z bo lim zn 1 n 1 zn n lim z n 1 0 displaystyle lim left frac z n 1 n 1 z n n right lim frac z n 1 0 2 Ryad n 0 n zn displaystyle sum n 0 infty n z n rozbigayetsya pri vsih z 0 displaystyle z not 0 bo lim n 1 zn 1n zn lim n 1 z displaystyle lim left frac n 1 z n 1 n z n right lim n 1 z infty 3 Yaksho r 1 displaystyle rho 1 to ryad mozhe yak zbigatisya tak i rozbigatisya obidva ryadi n 0 1n displaystyle sum n 0 infty frac 1 n i n 0 1n2 displaystyle sum n 0 infty frac 1 n 2 zadovolnyayut cyu umovu prichomu pershij ryad rozbizhnij a drugij zbizhnij Rozshirennya dlya r 1Yak bulo vidno vishe oznaka ne viznachena koli granicya dorivnyuye 1 Rozshirennya oznaki d Alambera inodi dozvolyayut rozibratisya z takimi vipadkami U vsih oznakah nizhche vvazhayemo sho San ce suma dodatnih an Taki oznaki mozhna takozh zastosovuvati do bud yakih ryadiv zi skinchennim chislom vid yemnih chleniv Taki ryadi mozhna zapisati yak n 1 an n 1Nan n N 1 an displaystyle sum n 1 infty a n sum n 1 N a n sum n N 1 infty a n de aN ce vid yemnij element z najbilshim indeksom Cej rozdil potrebuye dopovnennya Div takozhRadikalna oznaka Koshi Integralna oznaka Koshi MaklorenaLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr Oznaka Dalambera teorema Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 505 594 s d Alembert J 1768 Opuscules t V s 171 183 1974 Mathematical analysis vid 2nd Addison Wesley ISBN 978 0 201 00288 1 8 14 Knopp Konrad 1956 Infinite Sequences and Series New York Dover Publications Bibcode 1956iss book K ISBN 978 0 486 60153 3 3 3 5 4 1976 Principles of Mathematical Analysis vid 3rd New York McGraw Hill Inc ISBN 978 0 07 054235 8 3 34 Hazewinkel Michiel red 2001 Bertrand criterion Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Hazewinkel Michiel red 2001 Gauss criterion Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Hazewinkel Michiel red 2001 Kummer criterion Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Watson G N Whittaker E T 1963 A Course in Modern Analysis vid 4th Cambridge University Press ISBN 978 0 521 58807 2 2 36 2 37 PrimitkiRudin 1976 3 34 Apostol 1974 8 14 1908 An Introduction To The Theory of Infinite Series Merchant Books 1954 Theory and Application of Infinite Series London Blackie amp Son Ltd Tong Jingcheng May 1994 Kummer s Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series The American Mathematical Monthly 101 5 450 452 doi 10 2307 2974907 JSTOR 2974907 Ali Sayel A 2008 The mth Ratio Test New Convergence Test for Series PDF The American Mathematical Monthly 115 6 514 524 doi 10 1080 00029890 2008 11920558 S2CID 16336333 Procitovano 21 listopada 2018 Samelson Hans November 1995 More on Kummer s Test The American Mathematical Monthly 102 9 817 818 doi 10 2307 2974510 JSTOR 2974510 Blackburn Kyle 4 travnya 2012 The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests PDF University of Washington College of Arts and Sciences Procitovano 27 listopada 2018 Duris Frantisek 2009 Infinite series Convergence tests Bachelor s thesis Katedra Informatiky Fakulta Matematiky Fyziky a Informatiky Univerzita Komenskeho Bratislava Procitovano 28 listopada 2018 Duris Frantisek 2 lyutogo 2018 On Kummer s test of convergence and its relation to basic comparison tests arXiv 1612 05167 math HO