Малокутове наближення або апроксимація малих кутів це корисне спрощення базових тригонометричних функцій, яке буде досить точним при ліміті коли кут. Вони є усіченим рядом Тейлора для базових тригонометричних функцій за допомогою властивостей [en]. Таке спрощення дає наступну формулу:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlppTDB0c1pXbHVkMmx1YTJWc2JtRmxhR1Z5ZFc1blpXNHVjRzVuTHpNek1IQjRMVXRzWldsdWQybHVhMlZzYm1GbGFHVnlkVzVuWlc0dWNHNW4ucG5n.png)
- ,
де θ це кут в радіанах.
Апроксимація малих кутів корисна в багатьох застосуваннях фізики, включаючи механіку, електромагнетизм, оптику (де воно є основою (паралаксіальної оптики)), картографії, астрономії, та ін.
Обґрунтування
Графічне
Точність наближення наглядно видно нижче на графіках 1 і 2. З тим як кут наближається до нуля, очевидно, що різниця між апроксимованою прямою і справжньою функцією значно зменшується.
- Графік 1. Порівняння базової парної тригонометричної функції із значенням кута θ. Видно, що при зменшенні значення кута до 0 наближення стає кращим.
- Графік 2. Порівняння функції cos(θ) з 1 - θ2/2. Видно, що при зменшенні значення кута до 0 наближення стає кращим.
Геометричне
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJpTDFOdFlXeHNYMkZ1WjJ4bFgzUnlhV0Z1WjJ4bExuTjJaeTgyTnpWd2VDMVRiV0ZzYkY5aGJtZHNaVjkwY21saGJtZHNaUzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
В червоній частині справа, d, є різницею між довжиною гіпотенузи, H, і прилеглої сторони, A. Як видно, H і A мають приблизно однакову довжину, що означає що cos θ близький до 1 і дозволяє відкинути червону різницю.
Протилежна вертикальна сторона, O, приблизно дорівнює довжині синьої дуги, s. Узагальнюючи факти з геометрії, s = A*θ, із тригонометрії, sin θ = O/H і tan θ = O/A, а із зображення беремо що, і
, що приводить до:
.
Спростивши, отримаємо,
.
Алгебраїчне
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlF3TDFOdFlXeHNMV0Z1WjJ4bFgyRndjSEp2ZUdsdFlYUnBiMjVmWm05eVgzTnBibVZmWm5WdVkzUnBiMjR1YzNabkx6TXdNSEI0TFZOdFlXeHNMV0Z1WjJ4bFgyRndjSEp2ZUdsdFlYUnBiMjVmWm05eVgzTnBibVZmWm5WdVkzUnBiMjR1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Розширенням Маклорена (розкладання в ряд Тейлора при наближенні до 0) відповідної тригонометричної функції є
де θ це кут в радіанах. У більш простому вигляді,
Легко побачити що другий найзначиміший (viz., третього порядку) терм зменшується в кубічній пропорції відносно першого терму; тому, навіть для такого не дуже малого значення як 0.01, значення другого значимого терму буде мати порядок 0.000001, або одну десятитисячну від першого терма. Таким чином, можна сміливо апроксимувати:
В подальшому, оскільки значення косинуса малого кута дуже близький одиниці, а тангенс задається як відношення синуса до косинуса, маємо
.
Похибка апроксимації
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekUzTDFOdFlXeHNYMkZ1WjJ4bFgyTnZiWEJoY21WZlpYSnliM0l1YzNabkx6UTBNSEI0TFZOdFlXeHNYMkZ1WjJ4bFgyTnZiWEJoY21WZlpYSnliM0l1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Малюнок 3 показує похибку апроксимації малих кутів. Кути, при яких відносна похибка перевищує 1% є наступними:
- tan θ ≈ θ при приблизно 0.176 радіанах(10°).
- sin θ ≈ θ при приблизно 0.244 радіан (14°).
- cos θ ≈ 1 - θ2/2 при приблизно 0.664 радіан (38°).
Приклади застосування
Астрономія
В астрономії, зображення, яке займає образ віддаленого об'єкта зазвичай має розмір лише в декілька арксекунд, тому в даному випадку досить добре застосовується малокутове наближення. Зв'язок лінійного розміру (D) із кутовим розміром (X) і дистанцією від спостерігача (d) задається простою формулою
- D = X · d / 206,265
де X вимірюється в арксекундах.
Число 206,265 приблизно дорівнює кількості арксекунд в одному колі (1,296,000), розділене на 2π.
Точна формула має наступний вигляд:
- D = d tan(X·2π/1,296,000)
а вищезгадане спрощення випливає із заміни tan(X) на X.
Примітки
- , Mary L. (2006). . p. 26: Wiley. с. 839. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет