Непорожня система множин називається кільцем множин, якщо вона є замкнута щодо операцій об'єднання та перетину множин.
Тобто виконується:
Дана алгебраїчна структура не є алгебраїчним кільцем, а є дистрибутивною ґраткою.
Вищенаведене визначення задовільняють системи із однієї множини — сінглетони. Щоб уникнути цього, в теорії міри, кільцем множин називають непорожню систему множин, що є замкнутою відносно двох операцій:
- операцій об'єднання та різниці множин:
- або операцій перетину та симетричної різниці множин (при даному визначенні кільце множин є алгебраїчним кільцем):
Обидва визначення є строгішими ніж початкове, а також еквівалентними оскільки виражаються:
- перше через друге:
- друге через перше:
Властивості
- Виконується (дистрибутивний закон):
Поле множин
Полем множин — називається кільце множин замкнуте відносно доповнення множин.
Поле множин ще називають алгеброю множин, хоча алгеброю множин частіше називають ту частину теорії множин, що вивчає властивості теоретико-множинних операцій.
Насправді, поле множин з точки зору абстрактної алгебри не є ні алгебраїчним полем, ні алгеброю над полем, а є булевим кільцем.
Сигма-алгебра
- (Сигма-кільцем) називається кільце, замкнуте відносно зліченного об'єднання елементів.
- (Дельта-кільцем) називається кільце, замкнуте відносно зліченного перетину елементів.
Аналогічно визначається сигма-алгебра та дельта-алгебра (до речі, довільна дельта-алгебра є сигма-алгеброю і навпаки).
Теорема Стоуна
- Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин.
- Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.
Див. також
Джерела
- Кільце множин на PlanetMath [ 30 вересня 2007 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет