Константа Майсселя — Мертенса

Константа Майсселя — Мертенса — це математична константа в теорії чисел, яка визначається як границя різниці між гармонічним рядом, сумованим тільки за простими числами, і натурального логарифма натурального логарифма:

Константа Майсселя — Мертенса
Названо на честь	^d і ^d
Числове значення	0,261497212848
Підтримується Вікіпроєктом

У границі сума обернених значень простих чисел, менших від n, і функція ln (ln n) відрізняються на константу, константу Майсселя — Мертенса (позначена літерою M).

${\displaystyle M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].}$

Графік гармонічної суми простих чисел для ${\displaystyle n=2^{15},2^{16},\ldots ,2^{46}\approx 7.04\times 10^{13}}$ і наближення Мертенса для неї. Графік має по осі y довжину 8 см і представляє інтервал (2.5, 3.8). Якби вісь n була подана в лінійному масштабі, а не в логарифмічному, то вона мала б довжину ${\displaystyle 5.33(3)\times 10^{9}}$ км — розмір Сонячної системи.

Тут γ — стала Ейлера — Маскероні, яка має аналогічне визначення для суми за всіма цілими числами (не тільки за простими).

Константу названо іменами ^[ru] і Франца Мертенса. Її також згадують як константу Мертенса, константу Кронекера, константу Адамара — Валле-Пуссена або константу обернених значень простих чисел.

Значення M дорівнює приблизно

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516… (послідовність A077761 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Друга теорема Мертенса стверджує, що границя існує.

Факт, що є два логарифми (логарифм від логарифма) в границі для константи Майсселя-Мертенса, можна розглядати як наслідок комбінації теореми про розподіл простих чисел і границі сталої Ейлера — Маскероні.

У популярній культурі

Константу Майсселя — Мертенса використала компанія Google для пропозиції ціни на аукціоні патенту Nortel. Google виставив три пропозиції ціни, засновані на математичних константах — $1 902 160 540 (константа Бруна), $2 614 972 128 (константа Майсселя — Мертенса) і $3,14159 млрд (π).

Див. також

• Ряд обернених до простих чисел
• ^[en]

Примітки

1. Reuters, 2011.

Література

Reuters. Google's strange bids for Nortel patents // . — 2011. — July 5. з джерела 9 серпня 2011. Процитовано 2011-08-16.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Константа Мертенса(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• (файл postscript)