Квадратна матриця з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто
- (у фізичній нотації: ).
Це еквівалентно до системи рівнянь для елементів матриці
Властивості
- Ермітова матриця є частковим випадком нормальної матриці.
- Діагональні елементи ермітової матриці є дійсними числами.
- Визначник ермітової матриці — дійсне число.
- Власні значення ермітової матриці є дійсними числами.
- Обернена матриця до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею.
- Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею.
- Добуток ермітових матриць A і B є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли вони є переставними ( ).
- Матриця ермітова оператора в (ермітовому просторі) відносно будь-якого ортонормального базису є ермітовою.
- (Жорданова форма) ермітової матриці діагональна.
Часткові випадки
Частковими випадками ермітових матриць є:
- (додатньоозначені матриці) — у них всі власні значення додатні;
- невід'ємноозначені матриці — у них всі власні значення невід'ємні;
- від'ємноозначені матриці — у них всі власні значення від'ємні.
Зв'язок з комплексними числами
Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та (антиермітової матриць):
де:
- — ермітові матриці,
- — антиермітова матриця.
Також справедливо, що матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці переставні:
Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.
Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:
- ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
- антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
- і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатних, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.
Приклад
— ермітова матриця тому, що
або
Див. також
- Теорія матриць
- Нормальна матриця
- Додатноозначена матриця
- (Ермітова нормальна форма)
- (Відношення Релея)
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. (1967). IX. Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет