Дотичний простір

Дотичний простір до гладкого многовиду ${\displaystyle M}$ в точці ${\displaystyle x}$ — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природну структуру векторного простору.

Дотичний простір ${\displaystyle \scriptstyle T_{x}M}$ і дотичний вектор ${\displaystyle \scriptstyle v\in T_{x}M}$, подовж кривої ${\displaystyle \scriptstyle \gamma (t)}$, що проходить через точку ${\displaystyle \scriptstyle x\in M}$

Дотичний простір до ${\displaystyle M}$ у точці ${\displaystyle x}$ зазвичай позначають ${\displaystyle T_{x}M}$ або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто ${\displaystyle T_{x}}$.

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці ${\displaystyle p}$ підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

Означення

Через диференціювання в точці

Нехай ${\displaystyle M}$ — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці ${\displaystyle p}$. Тобто простір операторів ${\displaystyle X}$ які дають число ${\displaystyle Xf}$ для кожної гладкої функції ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$, і володіють такими властивостями:

• Адитивність: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh}$
• Правило Лейбніца: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh)}$

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці ${\displaystyle p}$ можна ввести структуру лінійного простору:

${\displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf}$

${\displaystyle (k\cdot X)f=k\cdot (Xf).}$

Через локальні координати

Нехай ${\displaystyle M}$ — гладкий многовид розмірності n, ${\displaystyle x\in M}$ і ${\displaystyle \phi }$ — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо ${\displaystyle C^{\infty }(X,x,\mathbb {R} )}$ множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці ${\displaystyle x}$ називається відображення:

${\displaystyle v:C^{\infty }(X,x,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$

таке що існують дійсні числа ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ з наступною властивістю. Для довільної функції ${\displaystyle f\in C^{\infty }(X,x,\mathbb {R} ),:}$

${\displaystyle v(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\frac {\partial }{\partial r_{i}}}(f\circ \phi ^{-1})|_{\phi (x)}}$

де ${\displaystyle r_{i}}$ — координати простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Визначення через криві

Нехай ${\displaystyle M}$ — гладкий многовид розмірності n, ${\displaystyle p\in M}$ і ${\displaystyle \phi }$ — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M,}$ такі що ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=p.}$ Тоді ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ називаються еквівалентними, якщо ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\phi \circ \gamma _{1})(0)={\frac {d}{dt}}(\phi \circ \gamma _{2})(0).}$ Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\phi \circ \gamma )(0)}$ у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ цю множину можна перетворити у векторний простір.

Властивості

• Дотичний простір ${\displaystyle n}$-вимірного гладкого многовиду є ${\displaystyle n}$-вимірним векторним простором.
• Для обраної локальної карти ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, оператори ${\displaystyle X_{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)}$ являють собою базис ${\displaystyle T_{p}}$, який називають голономним базисом.

Пов'язані означення

• Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. також

• Дотичний вектор
• Дотичний простір Зариського
• Кодотичний простір

Джерела

• Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — .(рос.)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.