Гіпотеза Каталана

Гіпотеза Каталана — твердження в теорії чисел:

Рівняння ${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1\quad (x,y,a,b>1)}$ має єдиний розв'язок у натуральних числах: ${\displaystyle x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3}$.

Іншими словами, крім ${\displaystyle 2^{3}=8}$ і ${\displaystyle 3^{2}=9}$ не існує інших послідовних степенів натуральних чисел.

Гіпотезу сформулював 1844 року.

2002 року математик румунського походження ^[en] в університеті міста Падерборн (Німеччина) довів цю гіпотезу. Відтоді доведену гіпотезу Каталана стали також називати теоремою Міхалеску.

Історія

Історія задачі сягає принаймні з , який довів частковий випадок гіпотези в 1343 році, де (x, y) було обмежено як (2, 3) або (3, 2).

Перший значний прогрес після того, як Каталан висловив свою гіпотезу, з'явився 1850 року, коли ^[de] розглянув випадок b = 2. Він довів, що рівняння x^m - y² = 1 не має розв'язку для y≠3.

1921 року Т. Нагель повністю дослідив рівняння ${\displaystyle x^{3}-z^{t}=1}$ і ${\displaystyle x^{y}-z^{3}=1}$ для y≠2.

Для рівняння ${\displaystyle x^{4}-z^{t}=1}$ задачу вирішив Сельберг (1932), а для рівняння ${\displaystyle x^{2}-z^{t}=1}$ — китайський математик Ко Чао (1960).

Таким чином гіпотезу було доведено в кількох окремих випадках.

Фундаментальний прорив стався в середині XX-го сторіччя, коли Кассельс довів таку теорему:

Нехай p та q — прості числа, такі, що p > q ≥ 2; a та b — цілі числа, більші одиниці, і ${\displaystyle a^{p}-b^{q}=\pm 1}$ Тоді a ділиться на q, а b ділиться на p.

Разом із деякими раннішими результатами теорема Кассельса вже дозволяла стверджувати, що якщо гіпотеза Каталана й не справджується, то лише для досить великих чисел (a, b > 10⁵).

1976 року ^[en] застосував ^[en] в теорії трансцендентності для встановлення меж на a, b і використав існуючі результати, що обмежують x, y через a, b, щоб отримати ефективну верхню межу для x, y, a, b . Мішель Ланжевен обчислив значення ${\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}}$ для межі. Це розв'язало гіпотезу Каталана для всіх випадків, крім деякої скінченної (втім, дуже великої) кількості. Проте, остаточні обчислення, необхідні для завершення доведення теореми, були занадто трудомісткими.

Гіпотезу Каталана довів в квітні 2002 року. Доведення опубліковано 2004 року в . Воно широко застосовує теорію кругових полів та ^[en]. продемонстрував доведення на ^[en]. У 2005 році Міхалеску опублікував спрощене доведення.

Узагальнення

Узагальненням гіпотези Каталана є гіпотеза Піллаї:

Для будь-якого натурального k (k>1) рівняння ${\displaystyle x^{m}-y^{n}=k}$ має лише скінчену кількість розв'язків ${\displaystyle (x,y,m,n)}$ у натуральних числах для ${\displaystyle (m,n)\neq (2,2)}$.

Див. також

• Гіпотеза Ферма — Каталана

Примітки

1. E. Catalan. Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur // J. Reine Angew. Math.. — 1844. — Vol. 27, n^o 192 (7 juillet). — P. 165–186.
2. Стюарт, 2015, с. 170.
3. P. Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture // J. Reine angew. Math.. — 2004. — Vol. 572, no. 572 (7 July). — P. 167–195. — DOI:10.1515/crll.2004.048. з джерела 22 жовтня 2012. Процитовано 12 січня 2021.
4. (1850), Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m=y²+1, Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série, 9: 178—181
5. Сендеров, Френкин, 2007.
6. (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, , с. 236, ISBN , Zbl 0456.10006
7. Bilu, Yuri (2004), , Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923, Astérisque, т. 294, с. 1—26, архів оригіналу за 14 січня 2021, процитовано 12 січня 2021
8. Mihăilescu, 2005
9. Weisstein, Eric W. . MathWorld — A Wolfram Web Resource. Архів оригіналу за 6 грудня 2021. Процитовано 6 грудня 2021.

Література

• Сендеров, В. . Гипотеза Каталана / В.  Сендеров, Б.  Френкин // Квант. — 2007. — № 4.
• Jeanine Daems. A cyclotomic proof of Catalan's conjecture.
• Yuri F. Bilu. Catalan's conjecture (after Mihailescu). — 2002. — 7 липня. з джерела 4 березня 2016. Процитовано 12 січня 2021.
• . Величайшие математические задачи. — М. : , 2015. — 460 с. — .
• Mihăilescu, Preda. Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture // European Congress of Mathematics. — Zurich, 2005. — С. 325—340.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Catalan's Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.