Гіпероператор

Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції (наступний елемент), а далі (бінарні операції) додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, …

${\displaystyle (~S,\;+,\;\times ,\;\uparrow ,\;\uparrow \uparrow ,\;\dots ,\;\uparrow ^{n-2})}$

Був запропонований англійським математиком .

Визначення

Послідовність гіпероперацій — послідовність бінарних операцій ${\displaystyle H_{n}:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ з індексом ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ визначається рекурсивно:

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&n=0\\a&n=1,b=0\\0&n=2,b=0\\1&n\geq 3,b=0\\H_{n-1}{\big (}a,\,H_{n}(a,b-1){\big )}&\end{cases}}}$

Ця рекурсивна формула узагальнює послідовність формул:

${\displaystyle ~H_{1}(a,b)=a+b=1+(a+(b-1)}$

${\displaystyle ~H_{2}(a,b)=a\times b=a+(a\times (b-1))}$

${\displaystyle ~H_{3}(a,b)=a^{b}=a\times (a^{(b-1)})}$

Приклади

${\displaystyle ~H_{0}(a,b)=b+1}$ (наступний елемент),

${\displaystyle ~H_{1}(a,b)=a+b}$ (додавання),

${\displaystyle ~H_{2}(a,b)=a\times b}$ (множення),

${\displaystyle ~H_{3}(a,b)=a^{b}}$ (піднесення до степеня),

${\displaystyle ~H_{4}(a,b)=\;^{b}a}$ (тетрація)

${\displaystyle ~H_{5}(a,b)=\;_{b}a}$ (пентація)

Позначення

Назва	Позначення для ${\displaystyle ~H_{n}(a,b)}$
нотація Кнута	${\displaystyle ~a\uparrow ^{n-2}b}$
(нотація Конвея)	${\displaystyle ~a\rightarrow b\rightarrow (n-2)}$
позначення Гудштейна	${\displaystyle ~G(n,a,b)}$
	${\displaystyle ~{\mbox{hyper}}(a,n,b)}$
	${\displaystyle ~a\otimes ^{n}b}$
	${\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b}$
	${\displaystyle ~a{}^{(n)}b}$
	${\displaystyle ~a{}_{(n)}b}$
	${\displaystyle ~a[n]b}$

Див. також

• Функція Акермана

Посилання