Точна верхня межа (верхня грань) і точна нижня межа (нижня грань) — узагальнення понять максимуму та мінімуму відповідно.
Використовувані визначення
Мажоранта чи верхня межа множини — число
, таке що
.
Міноранта чи нижня межа множини — число
, таке що
.
Визначення
Точною верхньою гранню, чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини упорядкованої множини
, називається найменший елемент
, котрий дорівнює чи більший за всі елементи множини
. Іншими словами, супремум — це найменша з усіх верхніх граней. Позначається
.
Більш формально:
— множина верхніх граней
, тобто елементів
, рівних чи більших за всі елементи
Точною нижньою гранею, чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини впорядкованої множини
, називається найбільший елемент
, котрий дорівнює чи менший за всі елементи множини
. Іншими словами, інфімум — це найбільша з усіх нижніх граней. Позначається
.
Зауваження
Ці визначення нічого не говорять про те, чи належить й
множині
чи ні.
У випадку , говорять, що
є максимумом (найбільшим елементом)
, позначається
.
У випадку , говорять, що
є мінімумом (найменшим елементом)
, позначається
.
Приклади
- На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум.
такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
- Для множини
;
.
- Множина додатних раціональних чисел
не має точної верхньої грані в
, точна нижня грань
.
- Множина
раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в
, але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
та
.
Теорема про грані
Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу - нижню грань. Тобто існує та
такі, що
Властивості
- З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини
, існує
.
- З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини
, існує
.
- Дійсне число
є
тоді й тільки тоді, коли:
є верхня грань
тобто для всіх елементів
,
;
- Для будь-якого
знайдеться
, такий, що
.(тобто до
можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини
)
- Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.
Див. також
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет