Числа зірчастого октаедра

Числа зірчастого октаедра (англ. stella octangula numbers) — фігурні числа, що підраховують число куль, які можна розташувати всередині зірчастого октаедра. Ці числа дорівнюють: 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990 … (послідовність A007588 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) і в загальному випадку задаються рівнянням ${\displaystyle n(2n^{2}-1)}$. Твірна функція чисел зірчастого октаедра: ${\displaystyle {\frac {x(x^{2}+10x+1)}{(x-1)^{4}}}=x+14x^{2}+51x^{3}+124x^{4}+...}$

124 ^[en], розташовані у формі зірчастого октаедра

Формули

Оскільки зірчастий октаедр можна подати як комбінацію октаедра та восьми тетраедрів меншого розміру, формулу для чисел зірчастого октаедра можна подати як ${\displaystyle StOct_{n}=O_{n}+8T_{n-1}}$, де ${\displaystyle O_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-не , а ${\displaystyle T_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-не тетраедричне число. Оскільки ${\displaystyle O_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)}$, а ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {1}{6}}(n-1)n(n+1)}$, отримаємо ${\displaystyle StOct_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)+{\frac {8}{6}}(n-1)n(n+1)={\frac {1}{3}}(n(2n^{2}+1)+4(n-1)n(n+1))={\frac {1}{3}}(2n^{3}+n+4n^{3}-4n)={\frac {1}{3}}(6n^{3}-3n)=n(2n^{2}-1)}$.

Рекурентні формули ${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n^{2}}$ та ${\displaystyle T_{n+1}=T_{n}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ дозволяють вивести для чисел зірчастого октаедра такі рівності: ${\displaystyle StOct_{1}=1}$, ${\displaystyle StOct_{n+1}=StOct_{n}+6n^{2}+6n+1}$.

Рівняння Люнґґрена

Єдині числа зірчастого октаедра, що також є квадратами, це ${\displaystyle StOct_{1}=1}$ і ${\displaystyle StOct_{169}=3107^{2}=9653449}$. Єдиність нетривіального розв'язку випливає з єдиності розв'язку рівняння ^[en], діофантового рівняння ${\displaystyle y^{2}=2x^{4}-1}$.

Примітки

1. Eric W. Weisstein. . MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.). Архів оригіналу за 28 червня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
2. Conway, John; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, с. 51, ISBN .
3. Eric W. Weisstein. . MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.). Архів оригіналу за 30 травня 2019. Процитовано 6 липня 2017.
4. Eric W. Weisstein. . MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.). Архів оригіналу за 10 липня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
5. Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore : World Scientific, 2012. — P. 119-120. — .
6. W. Ljunggren. Zur Theorie der Gleichung x^2 + 1 = Dy^4 // Avh. Norsk. Vid. Akad. Oslo. — 1942. — С. 1-27.
7. Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K.A. Bencsath, P.R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 234-235. — (Problem Books in Mathematics) — .