Циклічне число — ціле число, циклічні перестановки цифр якого є добутками цього числа на послідовні числа. Найвідоміший приклад такого числа — [ru]:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZsTDBONVkyeHBZMTl1ZFcxaVpYSmZNVFF5T0RVM0xuTjJaeTh5TURCd2VDMURlV05zYVdOZmJuVnRZbVZ5WHpFME1qZzFOeTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Подробиці
Щоб число було циклічним, вимагається, щоби множення на послідовні числа давало перестановки цифр числа. Так, число 076923 не вважається циклічним, оскільки, хоча всі циклічні перестановки є добутком числа на деякі цілі множники, ці множники не є послідовними цілими числами:
Як правило, виключаються наступні типові випадки:
- Окремі цифри, наприклад, 5
- Повторювані цифри, наприклад, 555
- Повторювані циклічні числа, як-от 142857142857
Якщо в числах не дозволені початкові нулі, то 142857 є єдиним циклічним числом у десятковій системі числення, що визначається необхідною структурою чисел, описаною в наступному розділі. Якщо початкові нулі дозволено, послідовність циклічних чисел починається з:
(6 цифр)
(16 цифр)
(18 цифр)
(22 цифри)
(28 цифр)
(46 цифр)
(58 цифр)
(60 цифр)
(96 цифр)
Зв'язок із повторюваними десятковими числами
Циклічні числа пов'язані з періодичними десятковими дробами часток одиниці. Циклічне число довжини має десяткове подання
.
Навпаки, якщо десятковий період числа (де
просте) дорівнює
, то цифри представляють циклічне число.
Наприклад:
Множення цього дробу дає циклічну перестановку:
Формат циклічних чисел
Використовуючи зв'язок із частками одиниці, можна показати, що циклічні числа мають вигляд [ru] , де
— основа системи числення (10 для десяткової системи), а
— просте, що не ділить
(прості числа
, що утворюють циклічні числа за основою
, називаються [en] чи довгими простими за основою
).
Наприклад, для дає циклічне число 142857, а для
дає циклічне число 2497.
Не всі значення дають циклічні числа згідно з цією формулою. Наприклад, для
дає
, а для
дає
. Ці числа не є циклічними, оскільки складаються з повторюваних послідовностей.
Перші значення , для яких формула дає циклічні числа за десятковою основою (
) (послідовність A001913 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Для (дванадцяткова система) ці значення
дорівнюють (послідовність A019340 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Для (двійкова система) ці значення
дорівнюють (послідовність A001122 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Для (трійкова система) ці значення
дорівнюють (послідовність A019334 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Не існує таких чисел у шістнадцятковій системі.
Відомі схеми таких послідовностей отримуються з алгебраїчної теорії чисел, а саме, ця послідовність є множиною простих , таких що
є первісним коренем за модулем
.
Побудова циклічних чисел
Циклічні числа можна отримати наступною процедурою: Нехай — основа системи числення (10 для десяткових чисел)
- Нехай
— просте число, що не є дільником
- Покладемо
.
- Покладемо
.
- Покладемо
.
- Цикл:
- Покладемо
- Покладемо
- Покладемо
- Покладемо
- Покладемо
- Якщо
, переходимо до початку циклу.
- Покладемо
- Якщо
, то
є циклічним числом.
Процедура працює шляхом обчислення цифр дробу за основою
за алгоритмом ділення стовпчиком. На кожному кроці
є остачею, а
є черговою цифрою.
Крок просто забезпечує додавання цифр числа. Для комп'ютерів, які не мають можливості обчислень із цілими числами дуже великого розміру, ці цифри можна просто надсилати на друк чи додавати іншим способом.
Зауважимо, що при досягненні границі
отримане число повинно бути циклічним і необхідності обчислювати подальші цифри немає.
Властивості циклічних чисел
Примітка: Нижче нижній індекс означає основу. Так, означає число 142 з основою 10, а
означає число 142 за основою 5 (тобто
).
- Якщо помножити число на генерувальне просте, отримаємо послідовність цифр «
» (9 у випадку десяткової основи).
.
- Якщо розбити число на групи цифр (по дві, три, чотири і т. д. цифри), а потім додати отримані числа, отримаємо послідовності дев'яток.
,
,
і т. д. (це частковий випадок [ru]).
- Всі циклічні числа діляться на «
» (9 у випадку десяткової основи).
Скільки циклічних чисел?
Кількість циклічних чисел, які не перевищують , для натуральних
утворюють послідовність (послідовність A086018 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):
Було висловлено гіпотезу (поки що не доведену), що існує нескінченна множина циклічних чисел. Згідно з [ru], ця послідовність містить 37,395..% простих чисел (для з послідовності A085397; послідовність A085397 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Інші системи числення
Використовуючи вищенаведену техніку, можна знайти циклічні числа в інших системах числення.
У двійковій системі послідовність циклічних чисел починається з: (послідовність A001122 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У трійковій системі: (послідовність A019334 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У четвериковій системі циклічних чисел немає.
У п'ятериковій системі: (послідовність A019335 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У шістковій системі: (послідовність A167794 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У сімковій системі: (послідовність A019337 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У вісімковій системі: (послідовність A019338 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У дев'ятковій системі єдине циклічне число:
В одинадцятковій системі 11: (послідовність A019339 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У дванадцятковій системі: (послідовність A019340 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У тринадцятковій системі: (послідовність A019341 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 14-ковій системі: (послідовність A019342 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 15-ковій системі: (послідовність A019343 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У шістнадцятковій системі циклічних чисел немає.
У 17-ковій системі: (послідовність A019344 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 18-ковій системі: (послідовність A019345 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 19-ковій системі: (послідовність A019346 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У двадцятковій системі: (послідовність A019347 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 21-ковій системі: (послідовність A019348 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 22-ковій системі: (послідовність A019349 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 23-ковій системі: (послідовність A019350 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 24-ковій системі: (послідовність A019351 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
У 25-ковій системі єдине циклічне число:
Зауважимо, що для трійкової основи () випадок
дає 1, що за правилами не є циклічним числом (тривіальний випадок, одна цифра). Тут же цей випадок наведено для повноти теорії, що всі числа отримуються таким способом.
Можна показати, що циклічних чисел (відмінних від тривіальних випадків із однією цифрою) не існує в системах числення з квадратною основою, тобто з основами 4, 9, 16, 25 і т. д.
Див. також
Примітки
- Гарднер, 2009, с. 114.
- Василенко.
- Artin's Constant. Wolfram MathWorld.
Джерела
- Василенко, С. Л. Сокрытые закономерности циклических числовых форм (PDF).
- Gardner, Martin (1979). Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American. Нью-Йорк: The Mathematical Association of America. с. 111—122.
- Гарднер, Мартин (2009). Лучшие математические игры и головоломки (Или самый настоящий математический цирк). М.: АСТ • Астрель. с. 111—121. ISBN .; ; УДК 159.9; ББК 88.37.
Література
- Dan Kalman. Fractions with Cycling Digit Patterns // The College Mathematics Journal. — 1996. — Март (т. 27, вып. 2). — С. 109—115.
- John Leslie. The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ….. — Longman, Hurst, Rees, Orme, Brown, 1820. — .
- David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin Press. — .
Посилання
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ciklichne chislo cile chislo ciklichni perestanovki cifr yakogo ye dobutkami cogo chisla na poslidovni chisla Najvidomishij priklad takogo chisla ru Ciklichne chislo 142857 pomnozhene na chisla vid 1 do 6 142857 1 142857 displaystyle 142857 times 1 142857 142857 2 285714 displaystyle 142857 times 2 285714 142857 3 428571 displaystyle 142857 times 3 428571 142857 4 571428 displaystyle 142857 times 4 571428 142857 5 714285 displaystyle 142857 times 5 714285 142857 6 857142 displaystyle 142857 times 6 857142 PodrobiciShob chislo bulo ciklichnim vimagayetsya shobi mnozhennya na poslidovni chisla davalo perestanovki cifr chisla Tak chislo 076923 ne vvazhayetsya ciklichnim oskilki hocha vsi ciklichni perestanovki ye dobutkom chisla na deyaki cili mnozhniki ci mnozhniki ne ye poslidovnimi cilimi chislami 076923 1 076923 displaystyle 076923 times 1 076923 076923 3 230769 displaystyle 076923 times 3 230769 076923 4 307692 displaystyle 076923 times 4 307692 076923 9 692307 displaystyle 076923 times 9 692307 076923 10 769230 displaystyle 076923 times 10 769230 076923 12 923076 displaystyle 076923 times 12 923076 Yak pravilo viklyuchayutsya nastupni tipovi vipadki Okremi cifri napriklad 5 Povtoryuvani cifri napriklad 555 Povtoryuvani ciklichni chisla yak ot 142857142857 Yaksho v chislah ne dozvoleni pochatkovi nuli to 142857 ye yedinim ciklichnim chislom u desyatkovij sistemi chislennya sho viznachayetsya neobhidnoyu strukturoyu chisel opisanoyu v nastupnomu rozdili Yaksho pochatkovi nuli dozvoleno poslidovnist ciklichnih chisel pochinayetsya z 10 6 1 7 142857 displaystyle frac 10 6 1 mathbf 7 142857 6 cifr 10 16 1 17 0588235294117647 displaystyle frac 10 16 1 mathbf 17 0588235294117647 16 cifr 10 18 1 19 052631578947368421 displaystyle frac 10 18 1 mathbf 19 052631578947368421 18 cifr 10 22 1 23 0434782608695652173913 displaystyle frac 10 22 1 mathbf 23 0434782608695652173913 22 cifri 10 28 1 29 0344827586206896551724137931 displaystyle frac 10 28 1 mathbf 29 0344827586206896551724137931 28 cifr 10 46 1 47 0212765957446808510638297872340425531914893617 displaystyle frac 10 46 1 mathbf 47 0212765957446808510638297872340425531914893617 46 cifr 10 58 1 59 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 displaystyle frac 10 58 1 mathbf 59 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 58 cifr 10 60 1 61 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 displaystyle frac 10 60 1 mathbf 61 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 60 cifr 10 96 1 97 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 displaystyle frac 10 96 1 mathbf 97 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 96 cifr Zv yazok iz povtoryuvanimi desyatkovimi chislamiCiklichni chisla pov yazani z periodichnimi desyatkovimi drobami chastok odinici Ciklichne chislo dovzhini L displaystyle L maye desyatkove podannya 1 L 1 displaystyle frac 1 L 1 Navpaki yaksho desyatkovij period chisla 1 p displaystyle frac 1 p de p displaystyle p proste dorivnyuye p 1 displaystyle p 1 to cifri predstavlyayut ciklichne chislo Napriklad 1 7 0 142857 142857 displaystyle frac 1 7 0 142857 142857 dots Mnozhennya cogo drobu daye ciklichnu perestanovku 1 7 0 142857 142857 displaystyle frac 1 7 0 142857 142857 dots 2 7 0 285714 285714 displaystyle frac 2 7 0 285714 285714 dots 3 7 0 428571 428571 displaystyle frac 3 7 0 428571 428571 dots 4 7 0 571428 571428 displaystyle frac 4 7 0 571428 571428 dots 5 7 0 714285 714285 displaystyle frac 5 7 0 714285 714285 dots 6 7 0 857142 857142 displaystyle frac 6 7 0 857142 857142 dots Format ciklichnih chiselVikoristovuyuchi zv yazok iz chastkami odinici mozhna pokazati sho ciklichni chisla mayut viglyad ru b p 1 1 p displaystyle frac b p 1 1 p de b displaystyle b osnova sistemi chislennya 10 dlya desyatkovoyi sistemi a p displaystyle p proste sho ne dilit b displaystyle b prosti chisla p displaystyle p sho utvoryuyut ciklichni chisla za osnovoyu b displaystyle b nazivayutsya en chi dovgimi prostimi za osnovoyu b displaystyle b Napriklad dlya b 10 p 7 displaystyle b 10 p 7 daye ciklichne chislo 142857 a dlya b 12 p 5 displaystyle b 12 p 5 daye ciklichne chislo 2497 Ne vsi znachennya p displaystyle p dayut ciklichni chisla zgidno z ciyeyu formuloyu Napriklad dlya b 10 p 13 displaystyle b 10 p 13 daye 076923076923 10 displaystyle 076923076923 10 a dlya b 12 p 19 displaystyle b 12 p 19 daye 076 B 45076 B 45076 B 45 12 lt s u b gt displaystyle 076B45076B45076B45 12 lt sub gt Ci chisla ne ye ciklichnimi oskilki skladayutsya z povtoryuvanih poslidovnostej Pershi znachennya p displaystyle p dlya yakih formula daye ciklichni chisla za desyatkovoyu osnovoyu b 10 displaystyle b 10 poslidovnist A001913 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 7 17 19 23 29 47 59 61 97 109 113 131 149 167 179 181 193 223 229 233 257 263 269 313 337 367 379 383 389 419 433 461 487 491 499 503 509 541 571 577 593 619 647 659 701 709 727 743 811 821 823 857 863 887 937 941 953 971 977 983 displaystyle 7 17 19 23 29 47 59 61 97 109 113 131 149 167 179 181 193 223 229 233 257 263 269 313 337 367 379 383 389 419 433 461 487 491 499 503 509 541 571 577 593 619 647 659 701 709 727 743 811 821 823 857 863 887 937 941 953 971 977 983 dots Dlya b 12 displaystyle b 12 dvanadcyatkova sistema ci znachennya p displaystyle p dorivnyuyut poslidovnist A019340 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 5 7 17 31 41 43 53 67 101 103 113 127 137 139 149 151 163 173 197 223 257 269 281 283 293 317 353 367 379 389 401 449 461 509 523 547 557 569 571 593 607 617 619 631 641 653 691 701 739 751 761 773 787 797 809 821 857 881 929 953 967 977 991 displaystyle 5 7 17 31 41 43 53 67 101 103 113 127 137 139 149 151 163 173 197 223 257 269 281 283 293 317 353 367 379 389 401 449 461 509 523 547 557 569 571 593 607 617 619 631 641 653 691 701 739 751 761 773 787 797 809 821 857 881 929 953 967 977 991 dots Dlya b 2 displaystyle b 2 dvijkova sistema ci znachennya p displaystyle p dorivnyuyut poslidovnist A001122 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 3 5 11 13 19 29 37 53 59 61 67 83 101 107 131 139 149 163 173 179 181 197 211 227 269 293 317 347 349 373 379 389 419 421 443 461 467 491 509 523 541 547 557 563 587 613 619 653 659 661 677 701 709 757 773 787 797 821 827 829 853 859 877 883 907 941 947 displaystyle 3 5 11 13 19 29 37 53 59 61 67 83 101 107 131 139 149 163 173 179 181 197 211 227 269 293 317 347 349 373 379 389 419 421 443 461 467 491 509 523 541 547 557 563 587 613 619 653 659 661 677 701 709 757 773 787 797 821 827 829 853 859 877 883 907 941 947 dots Dlya b 3 displaystyle b 3 trijkova sistema ci znachennya p displaystyle p dorivnyuyut poslidovnist A019334 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 5 7 17 19 29 31 43 53 79 89 101 113 127 137 139 149 163 173 197 199 211 223 233 257 269 281 283 293 317 331 353 379 389 401 449 461 463 487 509 521 557 569 571 593 607 617 631 641 653 677 691 701 739 751 773 797 809 811 821 823 857 859 881 907 929 941 953 977 displaystyle 2 5 7 17 19 29 31 43 53 79 89 101 113 127 137 139 149 163 173 197 199 211 223 233 257 269 281 283 293 317 331 353 379 389 401 449 461 463 487 509 521 557 569 571 593 607 617 631 641 653 677 691 701 739 751 773 797 809 811 821 823 857 859 881 907 929 941 953 977 dots Ne isnuye takih chisel p displaystyle p u shistnadcyatkovij sistemi Vidomi shemi takih poslidovnostej otrimuyutsya z algebrayichnoyi teoriyi chisel a same cya poslidovnist ye mnozhinoyu prostih p displaystyle p takih sho b displaystyle b ye pervisnim korenem za modulem p displaystyle p Pobudova ciklichnih chiselCiklichni chisla mozhna otrimati nastupnoyu proceduroyu Nehaj b displaystyle b osnova sistemi chislennya 10 dlya desyatkovih chisel Nehaj p displaystyle p proste chislo sho ne ye dilnikom b displaystyle b Poklademo t 0 displaystyle t 0 Poklademo r 1 displaystyle r 1 Poklademo n 0 displaystyle n 0 Cikl Poklademo t t 1 displaystyle t t 1 Poklademo x r b displaystyle x r times b Poklademo d x p displaystyle d big frac x p big Poklademo r x mod p displaystyle r x bmod p Poklademo n n b d displaystyle n n times b d Yaksho r 1 displaystyle r neq 1 perehodimo do pochatku ciklu Yaksho t p 1 displaystyle t p 1 to n displaystyle n ye ciklichnim chislom Procedura pracyuye shlyahom obchislennya cifr drobu 1 p displaystyle frac 1 p za osnovoyu b displaystyle b za algoritmom dilennya stovpchikom Na kozhnomu kroci r displaystyle r ye ostacheyu a d displaystyle d ye chergovoyu cifroyu Krok n n b d displaystyle n n times b d prosto zabezpechuye dodavannya cifr chisla Dlya komp yuteriv yaki ne mayut mozhlivosti obchislen iz cilimi chislami duzhe velikogo rozmiru ci cifri mozhna prosto nadsilati na druk chi dodavati inshim sposobom Zauvazhimo sho pri dosyagnenni t displaystyle t granici p 2 displaystyle frac p 2 otrimane chislo povinno buti ciklichnim i neobhidnosti obchislyuvati podalshi cifri nemaye Vlastivosti ciklichnih chiselPrimitka Nizhche nizhnij indeks oznachaye osnovu Tak 142 10 displaystyle 142 10 oznachaye chislo 142 z osnovoyu 10 a 142 5 displaystyle 142 5 oznachaye chislo 142 za osnovoyu 5 tobto 47 10 displaystyle 47 10 Yaksho pomnozhiti chislo na generuvalne proste otrimayemo poslidovnist cifr b a s e 1 displaystyle base 1 9 u vipadku desyatkovoyi osnovi 142857 10 7 999999 10 displaystyle 142857 10 times 7 999999 10 Yaksho rozbiti chislo na grupi cifr po dvi tri chotiri i t d cifri a potim dodati otrimani chisla otrimayemo poslidovnosti dev yatok 14 28 57 99 displaystyle 14 28 57 99 142 857 999 displaystyle 142 857 999 1428 5714 2857 9999 displaystyle 1428 5714 2857 9999 i t d ce chastkovij vipadok ru Vsi ciklichni chisla dilyatsya na b a s e 1 displaystyle base 1 9 u vipadku desyatkovoyi osnovi Skilki ciklichnih chisel Kilkist ciklichnih chisel yaki ne perevishuyut 10 n displaystyle 10 n dlya naturalnih n displaystyle n utvoryuyut poslidovnist poslidovnist A086018 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 1 9 60 467 3617 25883 248881 2165288 19016617 displaystyle 1 9 60 467 3617 25883 248881 2165288 19016617 dots Bulo vislovleno gipotezu poki sho ne dovedenu sho isnuye neskinchenna mnozhina ciklichnih chisel Zgidno z ru cya poslidovnist mistit 37 395 prostih chisel dlya b displaystyle b z poslidovnosti A085397 poslidovnist A085397 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Inshi sistemi chislennyaVikoristovuyuchi vishenavedenu tehniku mozhna znajti ciklichni chisla v inshih sistemah chislennya U dvijkovij sistemi poslidovnist ciklichnih chisel pochinayetsya z poslidovnist A001122 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 11 2 3 10 01 2 displaystyle 11 2 3 10 to 01 2 101 2 5 10 0011 2 displaystyle 101 2 5 10 to 0011 2 1011 2 11 10 0001011101 2 displaystyle 1011 2 11 10 to 0001011101 2 1101 2 13 10 000100111011 2 displaystyle 1101 2 13 10 to 000100111011 2 10011 2 19 10 000011010111100101 2 displaystyle 10011 2 19 10 to 000011010111100101 2 11101 2 29 10 0000100011010011110111001011 2 displaystyle 11101 2 29 10 to 0000100011010011110111001011 2 100101 2 37 10 000001101110101100111110010001010011 2 displaystyle 100101 2 37 10 to 000001101110101100111110010001010011 2 U trijkovij sistemi poslidovnist A019334 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 3 2 10 1 3 displaystyle 2 3 2 10 to 1 3 12 3 5 10 0121 3 displaystyle 12 3 5 10 to 0121 3 21 3 7 10 010212 3 displaystyle 21 3 7 10 to 010212 3 122 3 17 10 0011202122110201 3 displaystyle 122 3 17 10 to 0011202122110201 3 201 3 19 10 001102100221120122 3 displaystyle 201 3 19 10 to 001102100221120122 3 1002 3 29 10 0002210102011122200121202111 3 displaystyle 1002 3 29 10 to 0002210102011122200121202111 3 1011 3 31 10 000212111221020222010111001202 3 displaystyle 1011 3 31 10 to 000212111221020222010111001202 3 U chetverikovij sistemi ciklichnih chisel nemaye U p yaterikovij sistemi poslidovnist A019335 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 5 2 10 2 5 displaystyle 2 5 2 10 to 2 5 3 5 3 10 13 5 displaystyle 3 5 3 10 to 13 5 12 5 7 10 032412 5 displaystyle 12 5 7 10 to 032412 5 32 5 17 10 0121340243231042 5 displaystyle 32 5 17 10 to 0121340243231042 5 43 5 23 10 0102041332143424031123 5 displaystyle 43 5 23 10 to 0102041332143424031123 5 122 5 37 10 003142122040113342441302322404331102 5 displaystyle 122 5 37 10 to 003142122040113342441302322404331102 5 133 5 43 10 002423141223434043111442021303221010401333 5 displaystyle 133 5 43 10 to 002423141223434043111442021303221010401333 5 U shistkovij sistemi poslidovnist A167794 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 15 6 11 10 0313452421 6 displaystyle 15 6 11 10 to 0313452421 6 21 6 13 10 024340531215 6 displaystyle 21 6 13 10 to 024340531215 6 25 6 17 10 0204122453514331 6 displaystyle 25 6 17 10 to 0204122453514331 6 105 6 41 10 0051335412440330234455042201431152253211 6 displaystyle 105 6 41 10 to 0051335412440330234455042201431152253211 6 135 6 59 10 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541 6 displaystyle 135 6 59 10 to 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541 6 141 6 61 10 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335 6 displaystyle 141 6 61 10 to 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335 6 211 6 79 10 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105 6 displaystyle 211 6 79 10 to 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105 6 U simkovij sistemi poslidovnist A019337 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 7 2 10 3 7 displaystyle 2 7 2 10 to 3 7 5 7 5 10 1254 7 displaystyle 5 7 5 10 to 1254 7 14 7 11 10 0431162355 7 displaystyle 14 7 11 10 to 0431162355 7 16 7 13 10 035245631421 7 displaystyle 16 7 13 10 to 035245631421 7 23 7 17 10 0261143464055232 7 displaystyle 23 7 17 10 to 0261143464055232 7 32 7 23 10 0206251134364604155323 7 displaystyle 32 7 23 10 to 0206251134364604155323 7 56 7 41 10 0112363262135202250565543034045314644161 7 displaystyle 56 7 41 10 to 0112363262135202250565543034045314644161 7 U visimkovij sistemi poslidovnist A019338 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 3 8 3 10 25 8 displaystyle 3 8 3 10 to 25 8 5 8 5 10 1463 8 displaystyle 5 8 5 10 to 1463 8 13 8 11 10 0564272135 8 displaystyle 13 8 11 10 to 0564272135 8 35 8 29 10 0215173454106475626043236713 8 displaystyle 35 8 29 10 to 0215173454106475626043236713 8 65 8 53 10 0115220717545336140465103476625570602324416373126743 8 displaystyle 65 8 53 10 to 0115220717545336140465103476625570602324416373126743 8 73 8 59 10 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415 8 displaystyle 73 8 59 10 to 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415 8 123 8 83 10 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464336045 8 displaystyle 123 8 83 10 to 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464336045 8 U dev yatkovij sistemi yedine ciklichne chislo 2 9 2 10 4 9 displaystyle 2 9 2 10 to 4 9 V odinadcyatkovij sistemi 11 poslidovnist A019339 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 11 2 10 5 11 displaystyle 2 11 2 10 to 5 11 3 11 3 10 37 11 displaystyle 3 11 3 10 to 37 11 12 11 13 10 093425 A 17685 11 displaystyle 12 11 13 10 to 093425A17685 11 16 11 17 10 07132651 A 3978459 11 displaystyle 16 11 17 10 to 07132651A3978459 11 21 11 23 10 05296243390 A 581486771 A 11 displaystyle 21 11 23 10 to 05296243390A581486771A 11 27 11 29 10 04199534608387 A 69115764 A 2723 11 displaystyle 27 11 29 10 to 04199534608387A69115764A2723 11 29 11 31 10 039 A 32146818574 A 71078964292536 11 displaystyle 29 11 31 10 to 039A32146818574A71078964292536 11 U dvanadcyatkovij sistemi poslidovnist A019340 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 5 12 5 10 2497 12 displaystyle 5 12 5 10 to 2497 12 7 12 7 10 186 A 35 12 displaystyle 7 12 7 10 to 186A35 12 15 12 17 10 08579214 B 36429 A 7 12 displaystyle 15 12 17 10 to 08579214B36429A7 12 27 12 31 10 0478 A A 093598166 B 74311 B 28623 A 55 12 displaystyle 27 12 31 10 to 0478AA093598166B74311B28623A55 12 35 12 41 10 036190 A 653277397 A 9 B 4 B 85 A 2 B 15689448241207 12 displaystyle 35 12 41 10 to 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207 12 37 12 43 10 0342295 A 3 A A 730 A 068456 B 879926181148 B 1 B 53765 12 displaystyle 37 12 43 10 to 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765 12 45 12 53 10 02872 B 3 A 23205525 A 784640 A A 4 B 9349081989 B 6696143757 B 117 12 displaystyle 45 12 53 10 to 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117 12 U trinadcyatkovij sistemi poslidovnist A019341 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 13 2 10 6 13 displaystyle 2 13 2 10 to 6 13 5 13 5 10 27 A 5 13 displaystyle 5 13 5 10 to 27A5 13 B 13 11 10 12495 B A 837 13 displaystyle B 13 11 10 to 12495BA837 13 16 13 19 10 08 B 82976 A C 414 A 3562 13 displaystyle 16 13 19 10 to 08B82976AC414A3562 13 25 13 31 10 055 B 42692 C 21347 C 7718 A 63 A 0 A B 985 13 displaystyle 25 13 31 10 to 055B42692C21347C7718A63A0AB985 13 2 B 13 37 10 0474 B C 3 B 3215368 A 25 C 85810919 A B 79642 A 7 13 displaystyle 2B 13 37 10 to 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7 13 32 13 41 10 04177 C 08322 B 13645926 C 8 B 550 C 49 A A 1 B 96873 A 6 13 displaystyle 32 13 41 10 to 04177C08322B13645926C8B550C49AA1B96873A6 13 U 14 kovij sistemi poslidovnist A019342 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 3 14 3 10 49 14 displaystyle 3 14 3 10 to 49 14 13 14 17 10 0 B 75 A 9 C 4 D 2683419 14 displaystyle 13 14 17 10 to 0B75A9C4D2683419 14 15 14 19 10 0 A 45 C 7522 D 398168 B B 14 displaystyle 15 14 19 10 to 0A45C7522D398168BB 14 19 14 23 10 0874391 B 7 C A D 569 A 4 C 2613 14 displaystyle 19 14 23 10 to 0874391B7CAD569A4C2613 14 21 14 29 10 06 A 89925 B 163 C 0 D 73544 B 82 C 7 A 1 D 14 displaystyle 21 14 29 10 to 06A89925B163C0D73544B82C7A1D 14 3 B 14 53 10 039 A B 8 A 075793610 B 146 C 21828 D A 43253 D 6864 A 7 C D 2 C 971 B C 5 B 5 14 displaystyle 3B 14 53 10 to 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5 14 43 14 59 10 03471937 B 8 A C B 5659 A 2 B C 15 D 09 D 74 D A 96 C 4 A 62531287843 B 21 C 80 D 4069 14 displaystyle 43 14 59 10 to 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069 14 U 15 kovij sistemi poslidovnist A019343 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 15 2 10 7 15 displaystyle 2 15 2 10 to 7 15 D 15 13 10 124936 D C A 5 B 8 15 displaystyle D 15 13 10 to 124936DCA5B8 15 14 15 19 10 0 B C 9718 A 3 E 3257 D 64 B 15 displaystyle 14 15 19 10 to 0BC9718A3E3257D64B 15 18 15 23 10 09 B B 1487291 E 533 D A 67 C 5 D 15 displaystyle 18 15 23 10 to 09BB1487291E533DA67C5D 15 1 E 15 29 10 07 B 5 A 528 B D 6 A C D E 73949 C 6318421 15 displaystyle 1E 15 29 10 to 07B5A528BD6ACDE73949C6318421 15 27 15 37 10 061339 A E 2 C 87 A 8194 C E 8 D B B 540 C 26746 D 5 A 2 15 displaystyle 27 15 37 10 to 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2 15 2 B 15 41 10 0574 B 51 C 68 B A 922 D D 80 A E 97 A 39 D 286345 C C 116 E 4 15 displaystyle 2B 15 41 10 to 0574B51C68BA922DD80AE97A39D286345CC116E4 15 U shistnadcyatkovij sistemi ciklichnih chisel nemaye U 17 kovij sistemi poslidovnist A019344 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 17 2 10 8 17 displaystyle 2 17 2 10 to 8 17 3 17 3 10 5 B 17 displaystyle 3 17 3 10 to 5B 17 5 17 5 10 36 D A 17 displaystyle 5 17 5 10 to 36DA 17 7 17 7 10 274 E 9 C 17 displaystyle 7 17 7 10 to 274E9C 17 B 17 11 10 194 A D F 7 C 63 17 displaystyle B 17 11 10 to 194ADF7C63 17 16 17 23 10 0 C 9 A 5 F 8 E D 52 G 476 B 1823 B E 17 displaystyle 16 17 23 10 to 0C9A5F8ED52G476B1823BE 17 1 E 17 31 10 09583 E 469 E D C 11 A G 7 B 8 D 2 C A 7234 F F 6 17 displaystyle 1E 17 31 10 to 09583E469EDC11AG7B8D2CA7234FF6 17 U 18 kovij sistemi poslidovnist A019345 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 5 18 5 10 3 A E 7 18 displaystyle 5 18 5 10 to 3AE7 18 B 18 11 10 1 B 834 H 69 E D 18 displaystyle B 18 11 10 to 1B834H69ED 18 1 B 18 29 10 0 B 31 F 95 A 9 G D A E 4 H 6 E G 28 C 781463 D 18 displaystyle 1B 18 29 10 to 0B31F95A9GDAE4H6EG28C781463D 18 21 18 37 10 08 D B 37565 F 184 F A 3 G 0 H 946 E A C B C 2 G 9 D 27 E 1 H 18 displaystyle 21 18 37 10 to 08DB37565F184FA3G0H946EACBC2G9D27E1H 18 27 18 43 10 079 B 57 H 2 G D 721 C 293 D E B C H A 86 C A 0 F 14 A F G 5 F 8 E 4365 18 displaystyle 27 18 43 10 to 079B57H2GD721C293DEBCHA86CA0F14AFG5F8E4365 18 2 H 18 53 10 0620 C 41682 C G 57 E A F B 3 D 4788 E G H B F H 5 D G B 9 F 51 C A 3726 E 4 D A 9931 18 displaystyle 2H 18 53 10 to 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931 18 35 18 59 10 058 F 4 A 6 C E B A C 3 B G 30 G 89 D D 227 G E 0 A H C 92 D 7 B 53675 E 61 E H 19844 F F A 13 H 7 18 displaystyle 35 18 59 10 to 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7 18 U 19 kovij sistemi poslidovnist A019346 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 19 2 10 9 19 displaystyle 2 19 2 10 to 9 19 7 19 7 10 2 D A G 58 19 displaystyle 7 19 7 10 to 2DAG58 19 B 19 11 10 1 D F A 6 H 538 C 19 displaystyle B 19 11 10 to 1DFA6H538C 19 D 19 13 10 18 E B D 2 H A 475 G 19 displaystyle D 19 13 10 to 18EBD2HA475G 19 14 19 23 10 0 F D 4291 C 784 I 35 E G 9 H 6 B A E 19 displaystyle 14 19 23 10 to 0FD4291C784I35EG9H6BAE 19 1 A 19 29 10 0 C 89 F D E 7 G 73 H D 1 I 6 A 9354 B 2 B F 15 H 19 displaystyle 1A 19 29 10 to 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15H 19 1 I 19 37 10 09 E 73 B 5 C 631 A 52 A E G H I 94 B F 7 D 6 C F H 8 D G 8421 19 displaystyle 1I 19 37 10 to 09E73B5C631A52AEGHI94BF7D6CFH8DG8421 19 U dvadcyatkovij sistemi poslidovnist A019347 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 3 20 3 10 6 D 20 displaystyle 3 20 3 10 to 6D 20 D 20 13 10 1 A F 7 D G I 94 C 63 20 displaystyle D 20 13 10 to 1AF7DGI94C63 20 H 20 17 10 13 A B F 5 H C I G 984 E 27 20 displaystyle H 20 17 10 to 13ABF5HCIG984E27 20 13 20 23 10 0 H 7 G A 8 D I 546 J 2 C 39 B 61 E F D 20 displaystyle 13 20 23 10 to 0H7GA8DI546J2C39B61EFD 20 1 H 20 37 10 0 A G 469 E B H G F 2 E 11 C 8 C J 93 F D A 58234 H 5 I I 7 B 7 20 displaystyle 1H 20 37 10 to 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7 20 23 20 43 10 0960 I C 1 H 43 E 878 G E H D 9 F 6 J A D J 17 I 2 F G 5 B C B 3526 A 4 D 20 displaystyle 23 20 43 10 to 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4D 20 27 20 47 10 08 A 4522 B 15 A C F 67 D 3 G B I 5 J 2 J B 9 F E H H 8 I E 974 D C 6 G 381 E 0 H 20 displaystyle 27 20 47 10 to 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEHH8IE974DC6G381E0H 20 U 21 kovij sistemi poslidovnist A019348 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 21 2 10 A 21 displaystyle 2 21 2 10 to A 21 J 21 19 10 1248 H E 7 F 9 J I G C 36 D 5 B 21 displaystyle J 21 19 10 to 1248HE7F9JIGC36D5B 21 12 21 23 10 0 J 3 D E C G 92 F A K 1 H 7684 B I 5 A 21 displaystyle 12 21 23 10 to 0J3DECG92FAK1H7684BI5A 21 18 21 29 10 0 F 475198 E A 2 I H 7 K 5 G D F J B C 6 A I 23 D 21 displaystyle 18 21 29 10 to 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D 21 1 A 21 31 10 0 E 4 F C 4179 A 382 E I K 6 G 58 G J D B A H C I 62 21 displaystyle 1A 21 31 10 to 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62 21 2 B 21 53 10 086 F 9 A E D I 4 F H H 927 J 8 F 13 K 47 B 1 K C E 5 B A 672 G 533 B I D 1 C 5 J H 0 G D 9 J 21 displaystyle 2B 21 53 10 to 086F9AEDI4FHH927J8F13K47B1KCE5BA672G533BID1C5JH0GD9J 21 38 21 71 10 06493 B B 50 C 8 I 721 A 13 H F E 42 K 27 E A 785 J 4 F 7 K E G B H 99 F K 8 C 2 D I J A J H 356 G I 0 I D 6 A D C F 1 G 5 D 21 displaystyle 38 21 71 10 to 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJAJH356GI0ID6ADCF1G5D 21 U 22 kovij sistemi poslidovnist A019349 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 5 22 5 10 48 H D 22 displaystyle 5 22 5 10 to 48HD 22 H 22 17 10 16 A 7 G I 2 C K F B E 53 J 9 22 displaystyle H 22 17 10 to 16A7GI2CKFBE53J9 22 J 22 19 10 13 A 95 H 826 K I B C G 4 D J F 22 displaystyle J 22 19 10 to 13A95H826KIBCG4DJF 22 19 22 31 10 0 F D A E 45 E J J 3 C 194 L 68 B 7 H G 722 I 9 K C H 22 displaystyle 19 22 31 10 to 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH 22 1 F 22 37 10 0 D 1 H 57 G 143 C A F A 2872 L 8 K 4 G E 5 K H I 9 B 6 B J D E J 22 displaystyle 1F 22 37 10 to 0D1H57G143CAFA2872L8K4GE5KHI9B6BJDEJ 22 1 J 22 41 10 0 B H F C 7 B 5 J I H 3 G D K K 8 C J 6 L A 469 E A G 234 I 5811 D 92 F 22 displaystyle 1J 22 41 10 to 0BHFC7B5JIH3GDKK8CJ6LA469EAG234I5811D92F 22 23 22 47 10 0 A 6 C 3 G 897 L 18 J E B 5361 J 44 E L B F 9 I 5 D C E 0 K D 27 A G I F K 2 H H 7 22 displaystyle 23 22 47 10 to 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7 22 U 23 kovij sistemi poslidovnist A019350 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 2 23 2 10 B 23 displaystyle 2 23 2 10 to B 23 3 23 3 10 7 F 23 displaystyle 3 23 3 10 to 7F 23 5 23 5 10 4 D I 9 23 displaystyle 5 23 5 10 to 4DI9 23 H 23 17 10 182 G 59 A I L E K 6 H D C 4 23 displaystyle H 23 17 10 to 182G59AILEK6HDC4 23 21 23 47 10 0 B 5 K 1 A H E 496 J D 4 K C G E F F 3 L 0 M B H 2 L C 58 I D G 39 I 2 A 6877 J 1 M 23 displaystyle 21 23 47 10 to 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2LC58IDG39I2A6877J1M 23 2 D 23 59 10 08 M 51 C J K 65 A C 1 L J 27 I 79846 E 9 H 3 B F M E 0 H L A 32 G H C A L 13 K F 4 F D E I G 8 D 5 J B 7 23 displaystyle 2D 23 59 10 to 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GHCAL13KF4FDEIG8D5JB7 23 3 K 23 89 10 05 L G 6 A D G 0 B K 9 C L 4910 H J 2 J 8 I 21 C F 5 F H D 4327 B 8 C 3864 E M H 16 G C 96 M B 2 D A 1 I D L M 53 K 3 E 4 K L A 7 H 759 I J K F B E A J E G I 8 23 displaystyle 3K 23 89 10 to 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864EMH16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJEGI8 23 U 24 kovij sistemi poslidovnist A019351 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 7 24 7 10 3 A 6 K D H 24 displaystyle 7 24 7 10 to 3A6KDH 24 B 24 11 10 248 H A L J F 6 D 24 displaystyle B 24 11 10 to 248HALJF6D 24 D 24 13 10 1 L 795 C M 3 G E I B 24 displaystyle D 24 13 10 to 1L795CM3GEIB 24 H 24 17 10 19 L 45 F C G M E 2 J I 8 B 7 24 displaystyle H 24 17 10 to 19L45FCGME2JI8B7 24 17 24 31 10 0 I D M A K 327 H J 8 C 96 N 5 A 1 D 3 K L G 64 F B E H 24 displaystyle 17 24 31 10 to 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH 24 1 D 24 37 10 0 F D E M 1735 K 2 E 6 B G 54 C N 8 A 91 M G K I 3 L 9 H C 7 I J B 24 displaystyle 1D 24 37 10 to 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91MGKI3L9HC7IJB 24 1 H 24 41 10 0 E 14284 G 98 I H D B 2 M 5 K B G N 9 M J L F J 7 E F 56 A C L 1 I 3 C 7 24 displaystyle 1H 24 41 10 to 0E14284G98IHDB2M5KBGN9MJLFJ7EF56ACL1I3C7 24 U 25 kovij sistemi yedine ciklichne chislo 2 25 2 10 C 25 displaystyle 2 25 2 10 to C 25 Zauvazhimo sho dlya trijkovoyi osnovi b 3 displaystyle b 3 vipadok p 2 displaystyle p 2 daye 1 sho za pravilami ne ye ciklichnim chislom trivialnij vipadok odna cifra Tut zhe cej vipadok navedeno dlya povnoti teoriyi sho vsi chisla otrimuyutsya takim sposobom Mozhna pokazati sho ciklichnih chisel vidminnih vid trivialnih vipadkiv iz odniyeyu cifroyu ne isnuye v sistemah chislennya z kvadratnoyu osnovoyu tobto z osnovami 4 9 16 25 i t d Div takozhDesyatkovij drib Mala teorema Ferma en PrimitkiGardner 2009 s 114 Vasilenko Artin s Constant Wolfram MathWorld DzherelaVasilenko S L Sokrytye zakonomernosti ciklicheskih chislovyh form PDF Gardner Martin 1979 Mathematical Circus More Puzzles Games Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American Nyu Jork The Mathematical Association of America s 111 122 Gardner Martin 2009 Luchshie matematicheskie igry i golovolomki Ili samyj nastoyashij matematicheskij cirk M AST Astrel s 111 121 ISBN 978 5 17 058244 0 ISBN 978 5 271 23247 3 UDK 159 9 BBK 88 37 LiteraturaDan Kalman Fractions with Cycling Digit Patterns The College Mathematics Journal 1996 Mart t 27 vyp 2 S 109 115 John Leslie The Philosophy of Arithmetic Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Longman Hurst Rees Orme Brown 1820 ISBN 1 4020 1546 1 David Wells The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Penguin Press ISBN 0 14 008029 5 PosilannyaWeisstein Eric W Cyclic Number angl na sajti Wolfram MathWorld Cyclic Numbers Numberphile na YouTube