Функція sinc

Sinc-функція, що позначається ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,}$, (від лат. sinus cardinalis — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:

1. У цифровій обробці сигналів і нормована sinc-функція звичайно визначається як

   ${\displaystyle \mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}$

2. У математиці ненормована sinc-функція визначається як

   ${\displaystyle \mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}$

Графіки нормованої sinc-функції (синій) та ненормованої sinc-функції (червоний) на відрізку значень x від −6π до 6π.

У обох випадках значення функції в особливій точці ${\displaystyle x=0}$ явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.

Властивості

• Для ненормованої sinc-функції :

${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,}$ і ${\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,}$ для ${\displaystyle k\neq 0\,}$ і ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ (цілі числа); тобто, це

Для ненормованої функції

${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,}$ і ${\displaystyle \mathrm {sinc} (k\pi )=0\,}$ для ${\displaystyle k\neq 0\,}$ і ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ (цілі числа);

• функції ${\displaystyle x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\ }$ формують ортонормований базис для функцій в функціональному просторі ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, з найбільшою кутовою частотою ${\displaystyle \omega _{\mathrm {H} }=\pi \,}$.

• Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}$ збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}$ рівна нулю (локальний екстремум в точці ${\displaystyle x=a\,}$), виконується умова ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,}$.

• Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку ${\displaystyle j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}$. Нормована sinc-функція - ${\displaystyle j_{0}(\pi x)\,}$.

• ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)\,\!}$

де Si(x) — інтегральний синус.

• λ sinc(λ x) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:

${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!}$

Іншим є cos(λ x)/x.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \,}$.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!}$

• Перетворення Фур'є нормованої sinc-функції ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,}$ (для одиничного інтервалу частот) рівне прямокутній функції ${\displaystyle \mathrm {rect} (f)\,}$.

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)}$,

де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.

• Розклад нормованої Sinc-функції у нескінченний добуток:

${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$

• Розклад ненормованої Sinc-функції у нескінченний добуток

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).}$

• Вираз через гамма-функцію:

${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}$

де ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — гамма-функція

Посилання

• Weisstein, Eric W. Sinc Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.