Формула гаверсинуса — важливе рівняння у навігації, яке дозволяє обчислити відстань між точками на сфері, за їхніми довготою та широтою. Є окремим випадком більш загальної формули сферичної тригонометрії, закону гаверсинусів, відносно сторін та кутів сферичних трикутників. Перша таблиця гаверсинусів була опублікована Джеймсом Ендрю англійською мовою 1805 року. Флоріан Каджорі вказує на більш раннє використання [en] у 1801 році Термін гаверсинус було придумано у 1835 році професором [en].
Формула гаверсинусів
Для будь-яких двох точок на сфері, гаверсинус центрального кута між ними обчислюється за наступною формулою:
де
- haversin це функція гаверсинуса:
- d відстань між двома точками (згідно великого кола сфери; див. відстань на сфері),
- r радіус сфери,
- : широта точки 1 та широта точки 2
- : довгота точки 1 and довгота точки 2
Ліворуч від знака рівняння d/r центральний кут у радіанах (пам'ятайте що φ та λ можуть бути переведені з градусів у радіани множенням π/180).
Розв'яжемо для d через застосування зворотного гаверсинуса (якщо можливо), або через використання функції арксинуса (зворотного синуса):
де h це haversin(d/r), або більш розгорнуто:
Використовуючи цю формулу, переконайтесь що h не перевищує 1 через помилку рухомої коми (d є дійсним лише для h від 0 до 1). h лише наближається до 1 для діаметрально протилежних точок — у цій області відносно багато помилок обчислення мають тенденцію виникнення при використанні кінцевої точності. Оскільки d є великим, (наближається до πR, половини окружності) маленька помилка часто не є головним приводом для турботи у цьому незвичайному випадку (проте існує інша формула відстані на сфері, яка уникає цю проблему). (Формула вище колись написана у термінах функції арктангенса, але потерпає від проблеми h = 1.)[]
Як описується нижче, схожа формула може бути написана використовуючи косинус (іноді відома як теорема косинусів, не плутайте з теорема косинусів для геометрії на площині) замість гаверсинусів, але якщо 2 точки розташовані близько одна до одної (наприклад <= 1 км) ви можете стикнутись з тим, що cos (d/R) = 0.99999999, що призведе до неточної відповіді. Оскільки формула гаверсинусів використовує синуси це оминає проблему.
Обидві формули лише наближені, якщо взяти до уваги, що Земля не ідеальна сфера: «радіус Землі» R варіюється від 6356,752 км на полюсах до 6378,137 км на екваторі. Більше того, радіус кривої земної поверхні проведеної з півночі на південь на полюсах (≈6399,594 км) на 1% більший ніж на екваторі(≈6335,439 км) — тож формула гаверсинусів та теорема косинусів не можуть бути гарантовано точнішими ніж 0.5%. Більш ефективний метод, що враховує еліптичність Землі запропонований [en] та іншими формулами у статті географічна відстань.
Теорема гаверсинусів
Дано одиничну сферу, «трикутник» на поверхні сфери визначено як з'єднані дугами великих кіл точки u, v, and w на сфері. Якщо довжини цих трьох сторін це a (від u до v), b (від u до w), and c (від v до w), та кут протилежний c це C, тоді теорема гаверсинусів стверджує:
Оскільки це одинична сфера, довжини a, b, and c є рівними кутам (у радіанах) утвореним цими сторонами з центром сфери (для неодиничних сфер, кожна з цих довжин дуг дорівнює її центральному куту помноженому на радіус сфери).
Для отримання формули гаверсинусів попередньої секції з цієї теореми просто розглянемо окремий випадок де u це Північний полюс, коли v та w — це дві точки відстань d між якими нам треба відшукати. У цьому випадку, a та b є π/2 − φ1,2 (наприклад, 90° − широта), C це відстань за довготою Δλ, та c — це бажаний d/R. Відмітимо, що sin(π/2 − φ) = cos(φ).
Для отримання теореми гаверсинусів, потрібно розпочати зі сферичної теореми косинусів:
Як зазначено вище ця формула поганий шлях пошуку c коли c є малим. Замість цього ми замінимо свідчення, що cos(θ) = 1 − 2 haversin(θ), і також застосуємо суму свідчення cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b), для отримання теореми гаверсинусів вище.
Див. також
- [en]
Джерела
- Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry By Glen Van Brummelen
- A History of Mathematical Notations: Vol. II By Florian Cajori
- Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2nd ed. 1989. Cites coinage of term «Haversine» by Prof. Jas. Inman, D. D., in his Navigation and Nautical Astronomy, 3rd ed. (1835).
- Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points [ 14 серпня 2018 у Wayback Machine.](англ.)
Посилання
- (англ.). Архів оригіналу за 11 серпня 2018. Процитовано 21 лютого 2015.
- R. W. Sinnott, «Virtues of the Haversine», Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
- Deriving the haversine formula [ 14 серпня 2018 у Wayback Machine.], Ask Dr. Math (Apr. 20—21, 1999).
- Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
- W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
- Реалізація формули гаверсинуса на 16 мовах [ 14 серпня 2018 у Wayback Machine.]
- . Архів оригіналу за 14 серпня 2018. Процитовано 21 лютого 2015.
- . Архів оригіналу за 22 липня 2011. Процитовано 21 лютого 2015.
- Ruby implementation [ 22 січня 2022 у Wayback Machine.] of Haversine formula to find distance between two latitude/longitude points
- Python implementation of Haversine formula to find distance between two latitude/longitude points
- MacOS C implementation [ 14 серпня 2018 у Wayback Machine.] of Haversine formula to find distance between two latitude/longitude points using postal zip codes
- Pascal implementation [ 16 січня 2019 у Wayback Machine.] of Haversine formula to find distance between two latitude/longitude points
- Matlab implementation [ 13 травня 2020 у Wayback Machine.] of Haversine formula to find distance between two latitude/longitude points
- MySQL custom UDF function implementation to compute the Haversine formula.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formula gaversinusa vazhlive rivnyannya u navigaciyi yake dozvolyaye obchisliti vidstan mizh tochkami na sferi za yihnimi dovgotoyu ta shirotoyu Ye okremim vipadkom bilsh zagalnoyi formuli sferichnoyi trigonometriyi zakonu gaversinusiv vidnosno storin ta kutiv sferichnih trikutnikiv Persha tablicya gaversinusiv bula opublikovana Dzhejmsom Endryu anglijskoyu movoyu 1805 roku Florian Kadzhori vkazuye na bilsh rannye vikoristannya en u 1801 roci Termin gaversinus bulo pridumano u 1835 roci profesorom en Formula gaversinusivDlya bud yakih dvoh tochok na sferi gaversinus centralnogo kuta mizh nimi obchislyuyetsya za nastupnoyu formuloyu haversin d r haversin ϕ 2 ϕ 1 cos ϕ 1 cos ϕ 2 haversin l 2 l 1 displaystyle operatorname haversin left frac d r right operatorname haversin phi 2 phi 1 cos phi 1 cos phi 2 operatorname haversin lambda 2 lambda 1 de haversin ce funkciya gaversinusa haversin 8 sin 2 8 2 1 cos 8 2 displaystyle operatorname haversin theta sin 2 left frac theta 2 right frac 1 cos theta 2 d vidstan mizh dvoma tochkami zgidno velikogo kola sferi div vidstan na sferi r radius sferi ϕ 1 ϕ 2 displaystyle phi 1 phi 2 shirota tochki 1 ta shirota tochki 2 l 1 l 2 displaystyle lambda 1 lambda 2 dovgota tochki 1 and dovgota tochki 2 Livoruch vid znaka rivnyannya d r centralnij kut u radianah pam yatajte sho f ta l mozhut buti perevedeni z gradusiv u radiani mnozhennyam p 180 Rozv yazhemo dlya d cherez zastosuvannya zvorotnogo gaversinusa yaksho mozhlivo abo cherez vikoristannya funkciyi arksinusa zvorotnogo sinusa d r haversin 1 h 2 r arcsin h displaystyle d r operatorname haversin 1 h 2r arcsin left sqrt h right de h ce haversin d r abo bilsh rozgornuto d 2 r arcsin haversin ϕ 2 ϕ 1 cos ϕ 1 cos ϕ 2 haversin l 2 l 1 displaystyle d 2r arcsin left sqrt operatorname haversin phi 2 phi 1 cos phi 1 cos phi 2 operatorname haversin lambda 2 lambda 1 right 2 r arcsin sin 2 ϕ 2 ϕ 1 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin 2 l 2 l 1 2 displaystyle 2r arcsin left sqrt sin 2 left frac phi 2 phi 1 2 right cos phi 1 cos phi 2 sin 2 left frac lambda 2 lambda 1 2 right right dd Vikoristovuyuchi cyu formulu perekonajtes sho h ne perevishuye 1 cherez pomilku ruhomoyi komi d ye dijsnim lishe dlya h vid 0 do 1 h lishe nablizhayetsya do 1 dlya diametralno protilezhnih tochok u cij oblasti vidnosno bagato pomilok obchislennya mayut tendenciyu viniknennya pri vikoristanni kincevoyi tochnosti Oskilki d ye velikim nablizhayetsya do pR polovini okruzhnosti malenka pomilka chasto ne ye golovnim privodom dlya turboti u comu nezvichajnomu vipadku prote isnuye insha formula vidstani na sferi yaka unikaye cyu problemu Formula vishe kolis napisana u terminah funkciyi arktangensa ale poterpaye vid problemi h 1 dzherelo Yak opisuyetsya nizhche shozha formula mozhe buti napisana vikoristovuyuchi kosinus inodi vidoma yak teorema kosinusiv ne plutajte z teorema kosinusiv dlya geometriyi na ploshini zamist gaversinusiv ale yaksho 2 tochki roztashovani blizko odna do odnoyi napriklad lt 1 km vi mozhete stiknutis z tim sho cos d R 0 99999999 sho prizvede do netochnoyi vidpovidi Oskilki formula gaversinusiv vikoristovuye sinusi ce ominaye problemu Obidvi formuli lishe nablizheni yaksho vzyati do uvagi sho Zemlya ne idealna sfera radius Zemli R variyuyetsya vid 6356 752 km na polyusah do 6378 137 km na ekvatori Bilshe togo radius krivoyi zemnoyi poverhni provedenoyi z pivnochi na pivden na polyusah 6399 594 km na 1 bilshij nizh na ekvatori 6335 439 km tozh formula gaversinusiv ta teorema kosinusiv ne mozhut buti garantovano tochnishimi nizh 0 5 Bilsh efektivnij metod sho vrahovuye eliptichnist Zemli zaproponovanij en ta inshimi formulami u statti geografichna vidstan Teorema gaversinusivDano odinichnu sferu trikutnik na poverhni sferi viznacheno yak z yednani dugami velikih kil tochki u v and w na sferi Yaksho dovzhini cih troh storin ce a vid u do v b vid u do w and c vid v do w ta kut protilezhnij c ce C todi teorema gaversinusiv stverdzhuye Teorema gaversinusiv haversin c haversin a b sin a sin b haversin C displaystyle operatorname haversin c operatorname haversin a b sin a sin b operatorname haversin C Oskilki ce odinichna sfera dovzhini a b and c ye rivnimi kutam u radianah utvorenim cimi storonami z centrom sferi dlya neodinichnih sfer kozhna z cih dovzhin dug dorivnyuye yiyi centralnomu kutu pomnozhenomu na radius sferi Sferichnij trikutnik rozv yazanij za teoremoyu gaversinusiv Dlya otrimannya formuli gaversinusiv poperednoyi sekciyi z ciyeyi teoremi prosto rozglyanemo okremij vipadok de u ce Pivnichnij polyus koli v ta w ce dvi tochki vidstan d mizh yakimi nam treba vidshukati U comu vipadku a ta b ye p 2 f1 2 napriklad 90 shirota C ce vidstan za dovgotoyu Dl ta c ce bazhanij d R Vidmitimo sho sin p 2 f cos f Dlya otrimannya teoremi gaversinusiv potribno rozpochati zi sferichnoyi teoremi kosinusiv sferichna teorema kosinusiv cos c cos a cos b sin a sin b cos C displaystyle cos c cos a cos b sin a sin b cos C Yak zaznacheno vishe cya formula poganij shlyah poshuku c koli c ye malim Zamist cogo mi zaminimo svidchennya sho cos 8 1 2 haversin 8 i takozh zastosuyemo sumu svidchennya cos a b cos a cos b sin a sin b dlya otrimannya teoremi gaversinusiv vishe Div takozh en DzherelaHeavenly Mathematics The Forgotten Art of Spherical Trigonometry By Glen Van Brummelen A History of Mathematical Notations Vol II By Florian Cajori Oxford English Dictionary Oxford University Press 2nd ed 1989 Cites coinage of term Haversine by Prof Jas Inman D D in his Navigation and Nautical Astronomy 3rd ed 1835 Calculate distance bearing and more between Latitude Longitude points 14 serpnya 2018 u Wayback Machine angl Posilannya angl Arhiv originalu za 11 serpnya 2018 Procitovano 21 lyutogo 2015 R W Sinnott Virtues of the Haversine Sky and Telescope 68 2 159 1984 Deriving the haversine formula 14 serpnya 2018 u Wayback Machine Ask Dr Math Apr 20 21 1999 Romuald Ireneus Scibor Marchocki Spherical trigonometry Elementary Geometry Trigonometry web page 1997 W Gellert S Gottwald M Hellwich H Kastner and H Kustner The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics 2nd ed ch 12 Van Nostrand Reinhold New York 1989 Realizaciya formuli gaversinusa na 16 movah 14 serpnya 2018 u Wayback Machine Arhiv originalu za 14 serpnya 2018 Procitovano 21 lyutogo 2015 Arhiv originalu za 22 lipnya 2011 Procitovano 21 lyutogo 2015 Ruby implementation 22 sichnya 2022 u Wayback Machine of Haversine formula to find distance between two latitude longitude points Python implementation of Haversine formula to find distance between two latitude longitude points MacOS C implementation 14 serpnya 2018 u Wayback Machine of Haversine formula to find distance between two latitude longitude points using postal zip codes Pascal implementation 16 sichnya 2019 u Wayback Machine of Haversine formula to find distance between two latitude longitude points Matlab implementation 13 travnya 2020 u Wayback Machine of Haversine formula to find distance between two latitude longitude points MySQL custom UDF function implementation to compute the Haversine formula