Умова Слейтера — це достатня умова для сильної двоїстості в задачі опуклої оптимізації. Умову названо ім'ям Мортона Л. Слейтера. Неформально, умова Слейтера стверджує, що допустима область повинна мати внутрішню точку (див. подробиці нижче).
Умова Слейтера є прикладом умов регулярності . Зокрема, якщо умова Слейтера виконується для прямої задачі, то розрив двоїстості дорівнює 0 і якщо значення двоїстої задачі скінченне, воно досягається.
Формулювання
Розглянемо задачу оптимізації: Мінімізувати
- За обмежень
- ,
де — опуклі функції. Це випадок задачі опуклого програмування.
Іншими словами, умова Слейтера для опуклого програмування стверджує, що сильна двоїстість виконується, якщо є точка , така, що лежить строго всередині області допустимих розв'язків (тобто всі обмеження виконуються, а нелінійні обмеження виконуються як строгі нерівності).
Математично умова Слейтера стверджує, що сильна двоїстість виконується, якщо існує точка (де relint позначає відносну внутрішність опуклої множини ), така, що
- (опуклі нелінійні обмеження)
- .
Узагальнені нерівності
Нехай дано задачу: Мінімізувати
- За обмежень
- ,
де функція опукла, а — опукла для будь-якого . Тоді умова Слейтера каже, що у випадку, коли існує , таке, що
- і
то має місце сильна двоїстість.
Примітки
Література
- Morton Slater. Cowles Commission Discussion Paper No. 403. — 1950. Передруковано в
- Traces and Emergence of Nonlinear Programming / Giorgio Giorgi, Tinne Hoff Kjeldsen. — Basel : Birkhäuser, 2014. — С. 293–306. — .
- Akira Takayama. Mathematical Economics. — New York : Cambridge University Press, 1985. — .
- Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2nd. — Springer, 2006. — .
- Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge University Press, 2004. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Umova Slejtera ce dostatnya umova dlya silnoyi dvoyistosti v zadachi opukloyi optimizaciyi Umovu nazvano im yam Mortona L Slejtera Neformalno umova Slejtera stverdzhuye sho dopustima oblast povinna mati vnutrishnyu tochku div podrobici nizhche Umova Slejtera ye prikladom umov regulyarnosti Zokrema yaksho umova Slejtera vikonuyetsya dlya pryamoyi zadachi to rozriv dvoyistosti dorivnyuye 0 i yaksho znachennya dvoyistoyi zadachi skinchenne vono dosyagayetsya FormulyuvannyaRozglyanemo zadachu optimizaciyi Minimizuvati f0 x displaystyle f 0 x Za obmezhenfi x 0 i 1 m displaystyle f i x leqslant 0 i 1 ldots m Ax b displaystyle Ax b dd de f0 fm displaystyle f 0 ldots f m opukli funkciyi Ce vipadok zadachi opuklogo programuvannya Inshimi slovami umova Slejtera dlya opuklogo programuvannya stverdzhuye sho silna dvoyistist vikonuyetsya yaksho ye tochka x displaystyle x taka sho x displaystyle x lezhit strogo vseredini oblasti dopustimih rozv yazkiv tobto vsi obmezhennya vikonuyutsya a nelinijni obmezhennya vikonuyutsya yak strogi nerivnosti Matematichno umova Slejtera stverdzhuye sho silna dvoyistist vikonuyetsya yaksho isnuye tochka x relint D displaystyle x in operatorname relint D de relint poznachaye vidnosnu vnutrishnist opukloyi mnozhini D i 0mdom fi displaystyle D cap i 0 m operatorname dom f i taka sho fi x lt 0 i 1 m displaystyle f i x lt 0 i 1 ldots m opukli nelinijni obmezhennya Ax b displaystyle Ax b Uzagalneni nerivnostiNehaj dano zadachu Minimizuvati f0 x displaystyle f 0 x Za obmezhenfi x Ki0 i 1 m displaystyle f i x leqslant K i 0 i 1 ldots m Ax b displaystyle Ax b dd de funkciya f0 displaystyle f 0 opukla a fi displaystyle f i Ki displaystyle K i opukla dlya bud yakogo i displaystyle i Todi umova Slejtera kazhe sho u vipadku koli isnuye x relint D displaystyle x in operatorname relint D take sho fi x lt Ki0 i 1 m displaystyle f i x lt K i 0 i 1 ldots m i Ax b displaystyle Ax b to maye misce silna dvoyistist PrimitkiSlater 1950 Takayama 1985 s 66 76 Borwein Lewis 2006 Boyd Vandenberghe 2004 LiteraturaMorton Slater Cowles Commission Discussion Paper No 403 1950 Peredrukovano v Traces and Emergence of Nonlinear Programming Giorgio Giorgi Tinne Hoff Kjeldsen Basel Birkhauser 2014 S 293 306 ISBN 978 3 0348 0438 7 Akira Takayama Mathematical Economics New York Cambridge University Press 1985 ISBN 0 521 25707 7 Jonathan Borwein Adrian Lewis Convex Analysis and Nonlinear Optimization Theory and Examples 2nd Springer 2006 ISBN 0 387 29570 4 Stephen Boyd Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press 2004 ISBN 978 0 521 83378 3