Узагальнене середнє

Сере́днє сте́пеня p (середнє степеневе, узагальнене середнє) — узагальнення середнього арифметичного, середнього геометричного, середнього квадратичного, середнього гармонійного.

Означення

Якщо ${\displaystyle p}$ — дійсне число не рівне нулю, можна визначити середнє степеня ${\displaystyle p}$ для будь-яких додатних чисел ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ як:

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}$

Через граничний перехід довизначаються такі величини:

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{p\to +\infty }M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

Окремі випадки

Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$   — середнє гармонійне (HM),

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$   — середнє геометричне (GM),

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$   — середнє арифметичне (AM),

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$   — середнє квадратичне (RMS).

Нерівності

• Якщо ${\displaystyle p<q}$, тоді ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leqslant M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$, і рівність наступає тільки при ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}}$.

Це випливає з того, що ${\displaystyle \forall p\in \mathbb {R} :{\frac {\partial M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial p}}\geqslant 0}$, що може бути доведено за допомогою нерівності Єнсена.

• Окремим випадком попередньої нерівності є:

${\displaystyle \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\leqslant {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leqslant \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}\leqslant {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}\leqslant \max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}$

Див. також

• Середнє степеневе зважене
• Квазі-арифметичне середнє
• ^[en]

Джерела

• , Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)