Квазі-арифметичне середнє

Квазі-арифметичне середнє (середнє за Колмогоровим) для дійсних чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\!}$ визначається як

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\ldots +f(x_{n})}{n}}\right)}$

де ${\displaystyle f\!}$ — неперервна строго монотонна функція, а ${\displaystyle f^{-1}\!}$ — обернена функція до ${\displaystyle f\!}$.

Часткові випадки

• При ${\displaystyle f(x)=x\!}$ — отримуємо ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$   — середнє арифметичне (AM),
• При ${\displaystyle f(x)=\log x\!}$ — отримуємо ${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$   — середнє геометричне (GM),
• При ${\displaystyle f(x)=x^{-1}\!}$ — отримуємо ${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$   — середнє гармонійне (HM),
• При ${\displaystyle f(x)=x^{2}\!}$ — отримуємо ${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$   — середнє квадратичне (RMS),
• При ${\displaystyle f(x)=x^{p},\ p\neq 0}$ — отримуємо ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {x_{1}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}$   — середнє степеневе.

У 1930 році А. М. Колмогоров довів, що будь-яка середня величина має вигляд функції ${\displaystyle M(x_{1}\ldots ,x_{n})}$, якщо володіє властивостями:

• неперервна та монотонна по кожному ${\displaystyle \ x_{i},i=1,\ldots ,n,}$
• симетрична (значення не змінюється при перестановці аргументів)
• деяку групу значень можна замінити їх власним середнім, не міняючи спільного середнього.

Середні Колмогорова використовують в прикладній статистиці і економетриці.

Див. також

• Нерівність Єнсена

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)