Теорема про бісектрису

Теорема про бісектрису — теорема планіметрії, яка пов'язує довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону, до якої вона проведена, та довжини прилеглих сторін даного трикутника.

Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам, тобто ${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}}$.

Справедлива і обернена теорема: якщо на стороні ${\displaystyle BC}$ трикутника ${\displaystyle ABC}$ обрано точку ${\displaystyle D}$ так, що ${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}}$, то відрізок ${\displaystyle AD}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle A}$ трикутника ${\displaystyle ABC}$. Це можна легко довести методом від супротивного.

Доведення (методом пропорційних відрізків)

Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом пропорційних відрізків)

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle AD}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle A}$. Через точку ${\displaystyle B}$ проведемо пряму, паралельну прямій ${\displaystyle AD}$ і нехай проведена пряма перетинає пряму ${\displaystyle AC}$ в точці ${\displaystyle E}$.

На зображенні кути ${\displaystyle 2}$ та ${\displaystyle 3}$ рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ${\displaystyle AD}$ і ${\displaystyle BE}$ та січній ${\displaystyle AB}$; кути ${\displaystyle 1}$ та ${\displaystyle 4}$ рівні як відповідні при паралельних прямих ${\displaystyle AD}$ і ${\displaystyle BE}$ та січній ${\displaystyle AE}$. Проте кути ${\displaystyle 1}$ та ${\displaystyle 2}$ рівні, оскільки ${\displaystyle AD}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle A}$. Звідси маємо, що всі кути ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$ та ${\displaystyle 4}$ рівні між собою. Звідси маємо, що трикутник ${\displaystyle ABE}$ рівнобедрений, тобто ${\displaystyle AE=AB}$.

За теоремою про пропорційні відрізки маємо: ${\displaystyle {\frac {CD}{AC}}={\frac {DB}{AE}}}$. Але ${\displaystyle AE=AB}$, тому ${\displaystyle {\frac {CD}{AC}}={\frac {DB}{AB}}}$, звідки остаточно${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}}$. Теорему доведено.

Доведення (методом площ)

Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом площ)

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle AD}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle A}$. Знайдемо площі трикутників ${\displaystyle ABD}$ та ${\displaystyle ADC}$. Для цього скористаємося двома формулами для знаходження площ:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}}$, де ${\displaystyle a}$ — сторона трикутника, а ${\displaystyle h_{a}}$ — висота, опущена на цю сторону;

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha }$, де ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$ — сторони трикутника, ${\displaystyle \alpha }$ — кут між цими сторонами.

З першої формули маємо, що ${\displaystyle S_{ABD}={\frac {1}{2}}BD\cdot AE}$, а ${\displaystyle S_{ADC}={\frac {1}{2}}CD\cdot AE}$, де ${\displaystyle AE}$ — висота трикутника ${\displaystyle ABC}$, яка є також і висотою трикутників ${\displaystyle ABD}$ та ${\displaystyle ADC}$. Звідси ${\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AE}{{\frac {1}{2}}CD\cdot AE}}={\frac {BD}{DC}}}$.

З другої формули отримуємо, що ${\displaystyle S_{ABD}={\frac {1}{2}}AB\cdot AD\sin \angle BAD}$ та ${\displaystyle S_{ADC}={\frac {1}{2}}AC\cdot AD\sin \angle DAC}$. Звідси ${\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\sin \angle BAD}{{\frac {1}{2}}AC\cdot AD\sin \angle DAC}}={\frac {AB\sin \angle BAD}{AC\sin \angle DAC}}}$. Оскільки ${\displaystyle AD}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle A}$, то ${\displaystyle \angle BAD=\angle DAC}$, звідки ${\displaystyle \sin \angle BAD=\sin \angle DAC}$, а тому остаточно ${\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {AB}{AC}}}$.

Вище доведено, що ${\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {BD}{DC}}}$ та ${\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {AB}{AC}}}$, а тому ${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}}$. Теорему доведено.

Узагальнення теореми

Якщо пряма ${\displaystyle AD}$ не обов'язково є бісектрисою, то з вище викладених міркувань випливає, що ${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB\sin \angle BAD}{AC\sin \angle DAC}}}$.

Література

• Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с.