Теорема оригамі про вирізання многокутника стверджує, що завжди можна так скласти аркуш паперу, що будь-який многокутник, намальований на ньому (можливо не опуклий), можна отримати одним прямолінійним розрізом
Теорема находить застосування в оригамі. Патерном в оригамі називають набір ліній і відрізків, що вказують на те, як згортати папір з кресленнями, щоб отримати задану форму. Слід звернути увагу, в якому напрямку рухається папір, при згині — лінія згину наближається до нас, чи навпаки віддаляється. Кажемо, що складка має назву гора, якщо лінія перегину наближається, і долина, якщо віддаляється.
Приклад
Послідовність основних кроків для вирізання однією лінією на прикладі багатокутника у вигляді фігури лебедя:
|
- Потрібно роздрукувати шаблон (паттерн). На малюнку позначені лінії «долина» — червоним кольором, лінії «гора» — блакитним.
- Усі лінії намічаються у потрібному напрямку: «долина» — до себе (лінія згину віддаляється), «гора» — від себе (лінія згину наближається). За межі намальованих ліній виходити не можна. Показаний згин «гора».
- Паттерн з усіма наміченими лініями.
- За усіма наміченими лініями проходить згин таким чином, щоб отримати одну лінію.
- За цією лінією робиться розріз.
- Обидві частини розгортаються. З аркушу паперу вирізаний лебідь, і отвір у аркуші лише у формі лебедя. Залишок аркушу цілий.
Теорема оригамі про вирізання многокутника фактично стверджує, що завжди можна створити паттерн, з якого можна отримати задану фігуру, розрізанням лише по одній лінії. Для цього існують різні методи, які наведені нижче.
Доведення теореми у випадку трикутника
Нехай потрібно отримати паттерн для вирізання по одній прямій заданого трикутника. Проведемо бісектриси та із точки їх перетину опустимо перпендикуляри на сторони трикутника. По цим прямим і будемо складати аркуш паперу. Усі сторони трикутника опиняються на одній прямій. Уздовж неї відбувається прямолінійний розріз. Таким чином буде отримано у відрізаній частині шуканий трикутник, а на аркуші, з якого вирізали, буде відповідний отвір у вигляді заданого трикутника.
Прямий скелетний метод
Ерік Демейн, [en] і [en] розв'язували задачу «розрізу і згинання» за допомогою прямолінійного скелету. Ця структура визначається (приблизно) наступним чином. Для кожної грані бажаної схеми розрізу (область між розрізами), зменшуємо сторону так, щоб краї залишалися паралельно і рухалися з постійною швидкістю в перпендикулярному напрямку. Зупиняємося, коли границя перетинає себе, й продовжуємо зменшувати кожну частину. Прямий скелет — це траєкторія руху вершин бажаного паттерну розрізу під час цього процесу зменшення. Прямолінійний скелет складається з більшості згинів і досягає бажаного «вибудовування в ряд» розрізів. Взагалі, з кожної вершини прямолінійного скелету проводять промінь, який перпендикулярний кожному досягнутому краю розрізу, промінь відбивається від будь-якої грані, що зустрічається.
Складною частиною є доказ того, що прямолінійний скелет згину разом з підмножиною перпендикулярних згинів (і декількома допоміжними згинами) може бути складено в . Це робиться через показування положень складання, тобто за допомогою того, як шматочки паперу виглядають, коли складаються. Цей стан складання повинен задовольнити такої властивості: кожна сторона зберігає ізометрію і папір не повинен перетинати себе.
Найбільш детальний опис цього — книга «Геометрія алгоритмів складання: з'єднання, оригамі, багатогранники» Еріка Демейна і [en].
Також цю проблему розглядав Роберт Ленг. Власне кажучи, він намагається згорнути многокутник в спеціальну згорнуту форму, але звертається лише до опуклих многокутників, у той час, коли метод прямолінійного скелету зосереджується на розгортанні форми й звертається до неопуклих й незв'язних многокутників.
Метод пакування диска
, , і Ерік Демейн розв'язували задачу «розрізу і згинання» використовуючи пакування диска. А саме розміщували диски на частині паперу так, що:
- Диски не заходять один на одного (але можуть торкатися);
- Проміжки між дисками мають або три, або чотири боки;
- Є диск з центром у кожній вершині бажаної схеми розрізу;
- Краї бажаної схеми розрізу — об'єднання радіусів дисків.
Внаслідок цього, можна розкласти бажаний паттерн розрізу за допомогою ребер між центрами дисків, що торкаються. Результатом цього є колекція трикутників і чотирикутників. Після цього потрібно скласти усі ці трикутники і чотирикутники використовуючи точки, що вибудовуються у ряд по границі трикутників і чотирикутників. Це головна ідея — пара особливостей, необхідних за для того, щоб показати, що точки можуть бути з'єднані разом. Подальша особливість полягає в тому, щоб показати, що тільки бажані лінії такі, що проходять разом на загальній лінії.
Найбільш детально це описано у книзі «Геометрія алгоритмів складання: з'єднання, оригамі, багатогранники». «Методи пакування диска для магії оригамі» також описують детально методи, але вона має маленькі проблеми. Сама остання версія включає деякі спрощення і з'явилася в працях Третьої міжнародної зустрічі наукового оригамі, математики й освіти. Оригінальна версія була опублікована в працях Міжнародної конференції веселих алгоритмів.
Див. також
Примітки
- Demaine, Erik D.; (2004), Fold-and-Cut Magic, , A K Peters, с. 23—30, архів оригіналу за 3 липня 2014, процитовано 9 квітня 2014.
Посилання
- Аксіоми оригамі [ 13 лютого 2022 у Wayback Machine.] (англ.)
- Сайт Еріка Демейна [ 5 квітня 2014 у Wayback Machine.] (англ.)
- Проблема згину та розрізу [ 11 березня 2017 у Wayback Machine.] (англ.)
- Згин та розріз паперу [ 2 квітня 2013 у Wayback Machine.] (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema origami pro virizannya mnogokutnika stverdzhuye sho zavzhdi mozhna tak sklasti arkush paperu sho bud yakij mnogokutnik namalovanij na nomu mozhlivo ne opuklij mozhna otrimati odnim pryamolinijnim rozrizomPatern dlya mnogokutnika u viglyadi lebedya Liniyi dolina poznacheni punktirnoyu liniyeyu liniyi gora shtrih punktirnoyu Teorema nahodit zastosuvannya v origami Paternom v origami nazivayut nabir linij i vidrizkiv sho vkazuyut na te yak zgortati papir z kreslennyami shob otrimati zadanu formu Slid zvernuti uvagu v yakomu napryamku ruhayetsya papir pri zgini liniya zginu nablizhayetsya do nas chi navpaki viddalyayetsya Kazhemo sho skladka maye nazvu gora yaksho liniya pereginu nablizhayetsya i dolina yaksho viddalyayetsya Priklad Poslidovnist osnovnih krokiv dlya virizannya odniyeyu liniyeyu na prikladi bagatokutnika u viglyadi figuri lebedya 1 krok1 krok 2 krok2 krok 3 krok3 krok 4 krok4 krok 5 krok5 krok 6 krok6 krok Potribno rozdrukuvati shablon pattern Na malyunku poznacheni liniyi dolina chervonim kolorom liniyi gora blakitnim Usi liniyi namichayutsya u potribnomu napryamku dolina do sebe liniya zginu viddalyayetsya gora vid sebe liniya zginu nablizhayetsya Za mezhi namalovanih linij vihoditi ne mozhna Pokazanij zgin gora Pattern z usima namichenimi liniyami Za usima namichenimi liniyami prohodit zgin takim chinom shob otrimati odnu liniyu Za ciyeyu liniyeyu robitsya rozriz Obidvi chastini rozgortayutsya Z arkushu paperu virizanij lebid i otvir u arkushi lishe u formi lebedya Zalishok arkushu cilij Teorema origami pro virizannya mnogokutnika faktichno stverdzhuye sho zavzhdi mozhna stvoriti pattern z yakogo mozhna otrimati zadanu figuru rozrizannyam lishe po odnij liniyi Dlya cogo isnuyut rizni metodi yaki navedeni nizhche Dovedennya teoremi u vipadku trikutnikaNehaj potribno otrimati pattern dlya virizannya po odnij pryamij zadanogo trikutnika Provedemo bisektrisi ta iz tochki yih peretinu opustimo perpendikulyari na storoni trikutnika Po cim pryamim i budemo skladati arkush paperu Usi storoni trikutnika opinyayutsya na odnij pryamij Uzdovzh neyi vidbuvayetsya pryamolinijnij rozriz Takim chinom bude otrimano u vidrizanij chastini shukanij trikutnik a na arkushi z yakogo virizali bude vidpovidnij otvir u viglyadi zadanogo trikutnika Pryamij skeletnij metodMetod pryamolinijnogo skeletu Erik Demejn en i en rozv yazuvali zadachu rozrizu i zginannya za dopomogoyu pryamolinijnogo skeletu Cya struktura viznachayetsya priblizno nastupnim chinom Dlya kozhnoyi grani bazhanoyi shemi rozrizu oblast mizh rozrizami zmenshuyemo storonu tak shob krayi zalishalisya paralelno i ruhalisya z postijnoyu shvidkistyu v perpendikulyarnomu napryamku Zupinyayemosya koli granicya peretinaye sebe j prodovzhuyemo zmenshuvati kozhnu chastinu Pryamij skelet ce trayektoriya ruhu vershin bazhanogo patternu rozrizu pid chas cogo procesu zmenshennya Pryamolinijnij skelet skladayetsya z bilshosti zginiv i dosyagaye bazhanogo vibudovuvannya v ryad rozriziv Vzagali z kozhnoyi vershini pryamolinijnogo skeletu provodyat promin yakij perpendikulyarnij kozhnomu dosyagnutomu krayu rozrizu promin vidbivayetsya vid bud yakoyi grani sho zustrichayetsya Skladnoyu chastinoyu ye dokaz togo sho pryamolinijnij skelet zginu razom z pidmnozhinoyu perpendikulyarnih zginiv i dekilkoma dopomizhnimi zginami mozhe buti skladeno v Ce robitsya cherez pokazuvannya polozhen skladannya tobto za dopomogoyu togo yak shmatochki paperu viglyadayut koli skladayutsya Cej stan skladannya povinen zadovolniti takoyi vlastivosti kozhna storona zberigaye izometriyu i papir ne povinen peretinati sebe Najbilsh detalnij opis cogo kniga Geometriya algoritmiv skladannya z yednannya origami bagatogranniki Erika Demejna i en Takozh cyu problemu rozglyadav Robert Leng Vlasne kazhuchi vin namagayetsya zgornuti mnogokutnik v specialnu zgornutu formu ale zvertayetsya lishe do opuklih mnogokutnikiv u toj chas koli metod pryamolinijnogo skeletu zoseredzhuyetsya na rozgortanni formi j zvertayetsya do neopuklih j nezv yaznih mnogokutnikiv Metod pakuvannya diskaMetod pakuvannya diska i Erik Demejn rozv yazuvali zadachu rozrizu i zginannya vikoristovuyuchi pakuvannya diska A same rozmishuvali diski na chastini paperu tak sho Diski ne zahodyat odin na odnogo ale mozhut torkatisya Promizhki mizh diskami mayut abo tri abo chotiri boki Ye disk z centrom u kozhnij vershini bazhanoyi shemi rozrizu Krayi bazhanoyi shemi rozrizu ob yednannya radiusiv diskiv Vnaslidok cogo mozhna rozklasti bazhanij pattern rozrizu za dopomogoyu reber mizh centrami diskiv sho torkayutsya Rezultatom cogo ye kolekciya trikutnikiv i chotirikutnikiv Pislya cogo potribno sklasti usi ci trikutniki i chotirikutniki vikoristovuyuchi tochki sho vibudovuyutsya u ryad po granici trikutnikiv i chotirikutnikiv Ce golovna ideya para osoblivostej neobhidnih za dlya togo shob pokazati sho tochki mozhut buti z yednani razom Podalsha osoblivist polyagaye v tomu shob pokazati sho tilki bazhani liniyi taki sho prohodyat razom na zagalnij liniyi Najbilsh detalno ce opisano u knizi Geometriya algoritmiv skladannya z yednannya origami bagatogranniki Metodi pakuvannya diska dlya magiyi origami takozh opisuyut detalno metodi ale vona maye malenki problemi Sama ostannya versiya vklyuchaye deyaki sproshennya i z yavilasya v pracyah Tretoyi mizhnarodnoyi zustrichi naukovogo origami matematiki j osviti Originalna versiya bula opublikovana v pracyah Mizhnarodnoyi konferenciyi veselih algoritmiv Div takozhMatematika origami Paperovij litak Pryamij skelet en Erik DemejnPrimitkiDemaine Erik D 2004 Fold and Cut Magic A K Peters s 23 30 arhiv originalu za 3 lipnya 2014 procitovano 9 kvitnya 2014 PosilannyaAksiomi origami 13 lyutogo 2022 u Wayback Machine angl Sajt Erika Demejna 5 kvitnya 2014 u Wayback Machine angl Problema zginu ta rozrizu 11 bereznya 2017 u Wayback Machine angl Zgin ta rozriz paperu 2 kvitnya 2013 u Wayback Machine angl