Теорема Фенхеля — Моро

Теорема Фенхеля — Моро — необхідна і достатня умова того, що дійснозначна функція дорівнює своєму дворазовому опуклому спряженню. При цьому для будь-якої функції вірно, що ${\displaystyle f^{**}\leqslant f}$ .

Функція, яка не напівнеперервна знизу. За теоремою Фенхеля — Моро, ця функція не дорівнює своїй другій спряженій.

Твердження можна розглядати як узагальнення ^[en]. Її використовують у теорії двоїстості для доведення сильної двоїстості (через ^[en]).

Для скінченного випадку теорему довів 1949 року і для нескінченновимірного — ^[ru] 1960 року.

Твердження теореми

Нехай ${\displaystyle (X,\tau )}$ — гаусдорфів локально опуклий простір. Для будь-якої функції зі значеннями на розширеній числовій прямій ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ випливає, що ${\displaystyle f=f^{**}}$, де ${\displaystyle f^{*}}$ — опукле спряження до ${\displaystyle f}$ тоді й лише тоді, коли виконується одна з таких умов:

1. ${\displaystyle f}$ є ^[en] напівнеперервною знизу і опуклою функцією,
2. ${\displaystyle f\equiv +\infty }$, або
3. ${\displaystyle f\equiv -\infty }$.

У геометричному формулюванні теорема стверджує, що необхідною та достатньою умовою того, щоб надграфік функції був перетином надграфіків афінних функцій, є опуклість і замкнутість цієї функції.

Примітки

1. Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
2. Zălinescu, 2002, с. 75–79.
3. Тихомиров В. Геометрия выпуклости. — Квант. — 2003. — № 4.
4. Lai, Lin, 1988, с. 85–90.
5. Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181.

Література

• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — № 6(144). — С. 51–116.
• Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — .
• Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. — .
• Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 103, вип. 1 (May). — DOI:10.2307/2047532.
• Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вип. 5.