В теорії чисел, теорема Островського, дає класифікацію всіх абсолютних значень на полі раціональних чисел. Окрім того теоремою Островського також називають пов'язані результати для довільних числових полів і про архімедові абсолютні значення для довільного поля чи тіла.
Допоміжні означення і твердження теореми
Абсолютні значення і на полі K є еквівалентними якщо існує додатне дійсне число c > 0 таке що
Тривіальним абсолютним значенням на полі K є абсолютне значення
Дійсним абсолютним значенням на полі раціональних чисел Q є стандартний модуль числа тобто
Для простого числа p, p-адичне абсолютне значення на Q можна задати в такий спосіб: довільне раціональне число x, можна в єдиний спосіб записати як , де a і b цілі числа, що не діляться на p, b > 0 і n є цілим числом; тоді
Теорема Островського: довільне нетривіальне власне значення на полі раціональних чисел є еквівалентним або дійсному власному значенню або p-адичному абсолютному значенню для деякого простого числа p.
Доведення
Розглянемо деяке абсолютне значення на множині . Є два можливі випадки,
- (i)
- (ii)
Достатньо розглянути значення лише на цілих числах більших 1. Справді, якщо число c з множини R+ є таким, що для всіх цілих чисел більших 1, тоді ця рівність також тривіально виконується для 0 і 1, а для додатних раціональних чисел
Для від'ємних раціональних чисел:
Випадок I: ∃n ∈ N |n|∗ > 1
Нехай a, b і n — натуральні числа і a, b > 1. Записавши bn в системі числення з базою a отримаємо:
Тоді, згідно властивостей абсолютних значень:
Тому
Проте ми маємо:
звідки випливає що:
Тепер виберемо 1 < b ∈ N таке що |b|∗ > 1. Використовуючи це в попередньому отримаємо, що |a|∗ > 1 незалежно від вибору a (в іншому випадку і тому ). Тож для довільного вибору a, b > 1 отримуємо
тобто
Згідно симетрії, ця нерівність є рівністю.
Оскільки a, b були довільними, існує константа, для якої , тобто для всіх цілих чисел n > 1. Тому, згідно попереднього, , що й доводить еквівалентність із звичайним модулем числа.
Випадок II: ∀n ∈ N |n|∗ ≤ 1
Оскільки абсолютне значення не є тривіальним, існує натуральне число для якого |n|∗ < 1. Розклавши це число на прості множники,
можна помітити, що |p|∗ має бути меншим 1, хоча б для одного простого множника p = pj. Доведемо, що абсолютне значення може бути менше 1 лише для одного простого числа.
Припустимо, що p, q є двома різними простими числами власне значення яких є меншим 1. Спершу нехай таке число, що . Згідно алгоритму Евкліда, існують числа m, n ∈ Z для яких виконується рівність . Звідси отримуємо
що приводить до суперечності.
Отож маємо |pj|∗ = α < 1 для деякого j і |pi|∗ = 1 для i ≠ j. Позначивши
отримуємо що для довільних натуральних чисел
Як і вище для довільних раціональних чисел , тобто абсолютне значення є еквівалентним з p-адичним абсолютним значенням.
Узагальнення теореми Островського
Теоремою Островського часто також називають більш загальні твердження для довільних числових полів, загальних полів чи тіл.
Твердження для числових полів
Нехай — алгебричне числове поле, тобто скінченне розширення поля раціональних чисел і — його кільце цілих чисел. Оскільки є кільцем Дедекінда, то для будь-якого його простого ідеала і будь-якого елемента можна записати де — головний ідеал породжений цим елементом, а є ідеалами взаємно простими з ідеалом . Тоді можна ввести нормування і абсолютне значення де — норма ідеала .
Введена так функція дійсно є абсолютним значенням і з китайської теореми про лишки випливає, що для двох різних простих ідеалів ці абсолютні значення не є еквівалентними.
Іншими прикладами абсолютного значення є модулі числа індуковані вкладенням числового поля в поле дійсних чи комплексних чисел. А саме якщо є таким вкладенням то де в правій частині позначений звичайний модуль дійсного чи комплексного числа. Це абсолютне значення буде архімедовим. Спряжені комплексні вкладення визначають одне абсолютне значення і навпаки, якщо два різні дійсні чи комплексні вкладення задають одне абсолютне значення то вони є комплексно спряженими.
Теорема Островського для числових полів стверджує, що розглянуті вище приклади абсолютних значень є фактично єдиними для числових полів: якщо — алгебричне числове поле, то будь-яке його неархімедове нетривіальне абсолютне значення є еквівалентним для деякого простого ідеала , а будь-яке архімедове абсолютне значення є еквівалентним для деякого дійсного чи комплексного вкладення .
Твердження для раціональних функцій
Нехай тепер — поле і — поле раціональних функцій від однієї змінної над . Оскільки є полем часток кільця , що є кільцем головних ідеалів, то на можна ввести нормування пов'язане із незвідним многочленом зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Для довільного його значення визначається з розкладу , де многочлени є взаємно простими з .
Для довільного дійсного числа можна задати абсолютне значення породжене введеним нормуванням: Для різних таких абсолютні значення будуть еквівалентними, натомість для різних незвідних многочленів зі старшим коефіцієнтом рівним 1 відповідні абсолютні значення не будуть еквівалентними.
Окрім того на полі раціональних функцій можна ввести ще одне неархімедове абсолютне значення як: Це абсолютне значення не буде еквівалентним попереднім.
Теорема Островського для числових полів: будь-яке нетривіальне абсолютне значення на полі , що є тривіальним на є еквівалентним або для деякого незвідного многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 або
Архімедові абсолютні значення на полі та тілі
Теоремою Островського також називають пов'язаний результат, що описує з точністю до еквівалентності всі архімедові абсолютні значення на довільному полі чи, більш загально, тілі: якщо — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує таке вкладення K на деяке всюди щільне підтіло тіла або (тіло кватерніонів), що є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з або ; якщо K є полем то всі можливі вкладення є на поля .
Див. також
Література
- Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN . Zbl 0595.12006.
- Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic Number Fields (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN .
- Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (вид. 2-е). W H Freeman. ISBN .
- Ostrowski, Alexander (1916). Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica (вид. 2-е). 41 (1): 271—284. doi:10.1007/BF02422947. ISSN 0001-5962.[недоступне посилання]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi chisel teorema Ostrovskogo daye klasifikaciyu vsih absolyutnih znachen na poli racionalnih chisel Okrim togo teoremoyu Ostrovskogo takozh nazivayut pov yazani rezultati dlya dovilnih chislovih poliv i pro arhimedovi absolyutni znachennya dlya dovilnogo polya chi tila Dopomizhni oznachennya i tverdzhennya teoremiAbsolyutni znachennya displaystyle cdot i displaystyle cdot ast na poli K ye ekvivalentnimi yaksho isnuye dodatne dijsne chislo c gt 0 take sho x x c for all x K displaystyle x ast x c text for all x in mathbf K Trivialnim absolyutnim znachennyam na poli K ye absolyutne znachennya x 0 0 if x 0 1 if x 0 displaystyle x 0 begin cases 0 amp text if x 0 1 amp text if x neq 0 end cases Dijsnim absolyutnim znachennyam na poli racionalnih chisel Q ye standartnij modul chisla tobto x x if x 0 x if x lt 0 displaystyle x infty begin cases x amp text if x geq 0 x amp text if x lt 0 end cases Dlya prostogo chisla p p adichne absolyutne znachennya na Q mozhna zadati v takij sposib dovilne racionalne chislo x mozhna v yedinij sposib zapisati yak x pnab displaystyle x p n dfrac a b de a i b cili chisla sho ne dilyatsya na p b gt 0 i n ye cilim chislom todi x p 0 if x 0 p n if x 0 displaystyle x p begin cases 0 amp text if x 0 p n amp text if x neq 0 end cases Teorema Ostrovskogo dovilne netrivialne vlasne znachennya na poli racionalnih chisel ye ekvivalentnim abo dijsnomu vlasnomu znachennyu abo p adichnomu absolyutnomu znachennyu dlya deyakogo prostogo chisla p DovedennyaRozglyanemo deyake absolyutne znachennya na mnozhini Q displaystyle mathbf Q cdot ast Ye dva mozhlivi vipadki i n N n gt 1 displaystyle exists n in mathbf N n ast gt 1 ii n N n 1 displaystyle forall n in mathbf N n ast leq 1 Dostatno rozglyanuti znachennya lishe na cilih chislah bilshih 1 Spravdi yaksho chislo c z mnozhini R ye takim sho dlya vsih cilih chisel bilshih 1 n n c displaystyle n ast n ast ast c todi cya rivnist takozh trivialno vikonuyetsya dlya 0 i 1 a dlya dodatnih racionalnih chisel mn m n m c n c m n c mn c displaystyle left frac m n right ast frac m ast n ast frac m ast ast c n ast ast c left frac m ast ast n ast ast right c left frac m n right ast ast c Dlya vid yemnih racionalnih chisel x x x c x c displaystyle x ast x ast x ast ast c x ast ast c Vipadok I n N n gt 1 Nehaj a b i n naturalni chisla i a b gt 1 Zapisavshi bn v sistemi chislennya z bazoyu a otrimayemo bn i lt mciai ci 0 1 a 1 m nlog blog a 1 displaystyle b n sum i lt m c i a i qquad c i in 0 1 ldots a 1 quad m leq n frac log b log a 1 Todi zgidno vlastivostej absolyutnih znachen b n bn ammax a m 1 1 a nloga b 1 max a nloga b 1 displaystyle begin aligned b ast n amp b n ast amp leq am max left a ast m 1 1 right amp leq a n log a b 1 max left a ast n log a b 1 right end aligned Tomu b a nloga b 1 1 nmax a loga b 1 displaystyle b ast leq left a n log a b 1 right 1 n max left a ast log a b 1 right Prote mi mayemo a nloga b 1 1 n 1 asn displaystyle a n log a b 1 1 n to 1 quad text as quad n to infty zvidki viplivaye sho b max a loga b 1 displaystyle b ast leq max left a ast log a b 1 right Teper viberemo 1 lt b N take sho b gt 1 Vikoristovuyuchi ce v poperednomu otrimayemo sho a gt 1 nezalezhno vid viboru a v inshomu vipadku a loga b 1 displaystyle a ast log a b leq 1 i tomu b 1 displaystyle b ast leq 1 Tozh dlya dovilnogo viboru a b gt 1 otrimuyemo b a log b log a displaystyle b ast leq a ast log b log a tobto log b log b log a log a displaystyle frac log b ast log b leq frac log a ast log a Zgidno simetriyi cya nerivnist ye rivnistyu Oskilki a b buli dovilnimi isnuye konstanta l R displaystyle lambda in mathbf R dlya yakoyi log n llog n displaystyle log n ast lambda log n tobto n nl n l displaystyle n ast n lambda n infty lambda dlya vsih cilih chisel n gt 1 Tomu zgidno poperednogo x x l displaystyle x ast x infty lambda sho j dovodit ekvivalentnist iz zvichajnim modulem chisla Vipadok II n N n 1 Oskilki absolyutne znachennya ne ye trivialnim isnuye naturalne chislo dlya yakogo n lt 1 Rozklavshi ce chislo na prosti mnozhniki n i lt rpiei displaystyle n prod i lt r p i e i mozhna pomititi sho p maye buti menshim 1 hocha b dlya odnogo prostogo mnozhnika p pj Dovedemo sho absolyutne znachennya mozhe buti menshe 1 lishe dlya odnogo prostogo chisla Pripustimo sho p q ye dvoma riznimi prostimi chislami vlasne znachennya yakih ye menshim 1 Spershu nehaj e N displaystyle e in mathbf N take chislo sho p e q e lt 12 displaystyle p ast e q ast e lt tfrac 1 2 Zgidno algoritmu Evklida isnuyut chisla m n Z dlya yakih vikonuyetsya rivnist mpe nqe 1 displaystyle mp e nq e 1 Zvidsi otrimuyemo 1 1 m p e n q e lt m n 2 1 displaystyle 1 1 ast leq m ast p ast e n ast q ast e lt frac m ast n ast 2 leq 1 sho privodit do superechnosti Otozh mayemo pj a lt 1 dlya deyakogo j i pi 1 dlya i j Poznachivshi c log alog p displaystyle c frac log alpha log p otrimuyemo sho dlya dovilnih naturalnih chisel n i lt rpiei i lt r pi ei pj ej p ej c n pc displaystyle n ast left prod i lt r p i e i right ast prod i lt r left p i right ast e i left p j right ast e j p e j c n p c Yak i vishe dlya dovilnih racionalnih chisel x x pc displaystyle x ast x p c tobto absolyutne znachennya ye ekvivalentnim z p adichnim absolyutnim znachennyam Uzagalnennya teoremi OstrovskogoTeoremoyu Ostrovskogo chasto takozh nazivayut bilsh zagalni tverdzhennya dlya dovilnih chislovih poliv zagalnih poliv chi til Tverdzhennya dlya chislovih poliv Nehaj K displaystyle K algebrichne chislove pole tobto skinchenne rozshirennya polya racionalnih chisel i OK displaystyle mathcal O K jogo kilce cilih chisel Oskilki OK displaystyle mathcal O K ye kilcem Dedekinda to dlya bud yakogo jogo prostogo ideala p displaystyle mathfrak p i bud yakogo elementa a K displaystyle alpha in K times mozhna zapisati a pnab 1 displaystyle alpha mathfrak p n mathfrak a mathfrak b 1 de a displaystyle alpha golovnij ideal porodzhenij cim elementom a a b displaystyle mathfrak a mathfrak b ye idealami vzayemno prostimi z idealom p displaystyle mathfrak p Todi mozhna vvesti normuvannya vp a m displaystyle v mathfrak p alpha m i absolyutne znachennya a p N p vp a displaystyle alpha mathfrak p N mathfrak p v mathfrak p alpha de N p OK p displaystyle N mathfrak p mathcal O K mathfrak p norma ideala p displaystyle mathfrak p Vvedena tak funkciya a p displaystyle alpha mathfrak p dijsno ye absolyutnim znachennyam i z kitajskoyi teoremi pro lishki viplivaye sho dlya dvoh riznih prostih idealiv ci absolyutni znachennya ne ye ekvivalentnimi Inshimi prikladami absolyutnogo znachennya ye moduli chisla indukovani vkladennyam chislovogo polya v pole dijsnih chi kompleksnih chisel A same yaksho s displaystyle sigma ye takim vkladennyam to a s s a displaystyle alpha sigma sigma alpha de v pravij chastini poznachenij zvichajnij modul dijsnogo chi kompleksnogo chisla Ce absolyutne znachennya bude arhimedovim Spryazheni kompleksni vkladennya viznachayut odne absolyutne znachennya i navpaki yaksho dva rizni dijsni chi kompleksni vkladennya zadayut odne absolyutne znachennya to voni ye kompleksno spryazhenimi Teorema Ostrovskogo dlya chislovih poliv stverdzhuye sho rozglyanuti vishe prikladi absolyutnih znachen ye faktichno yedinimi dlya chislovih poliv yaksho K displaystyle K algebrichne chislove pole to bud yake jogo nearhimedove netrivialne absolyutne znachennya ye ekvivalentnim a p displaystyle alpha mathfrak p dlya deyakogo prostogo ideala p displaystyle mathfrak p a bud yake arhimedove absolyutne znachennya ye ekvivalentnim a s displaystyle alpha sigma dlya deyakogo dijsnogo chi kompleksnogo vkladennya s displaystyle sigma Tverdzhennya dlya racionalnih funkcij Nehaj teper F displaystyle F pole i F T displaystyle F T pole racionalnih funkcij vid odniyeyi zminnoyi nad F displaystyle F Oskilki F T displaystyle F T ye polem chastok kilcya F T displaystyle F T sho ye kilcem golovnih idealiv to na F T displaystyle F T mozhna vvesti normuvannya vp T displaystyle v pi T pov yazane iz nezvidnim mnogochlenom p T displaystyle pi T zi starshim koeficiyentom rivnim 1 Dlya dovilnogo f F T displaystyle f in F T jogo znachennya viznachayetsya z rozkladu f T pvp f T g T h T displaystyle f T pi v pi f T g T h T de mnogochleni g T h T displaystyle g T h T ye vzayemno prostimi z p T displaystyle pi T Dlya dovilnogo dijsnogo chisla c 0 1 displaystyle c in 0 1 mozhna zadati absolyutne znachennya porodzhene vvedenim normuvannyam f p cvp f displaystyle f pi c v pi f Dlya riznih takih c displaystyle c absolyutni znachennya budut ekvivalentnimi natomist dlya riznih nezvidnih mnogochleniv zi starshim koeficiyentom rivnim 1 vidpovidni absolyutni znachennya ne budut ekvivalentnimi Okrim togo na poli racionalnih funkcij mozhna vvesti she odne nearhimedove absolyutne znachennya yak f c deg f displaystyle f infty c operatorname deg f Ce absolyutne znachennya ne bude ekvivalentnim poperednim Teorema Ostrovskogo dlya chislovih poliv bud yake netrivialne absolyutne znachennya na poli F T displaystyle F T sho ye trivialnim na F displaystyle F ye ekvivalentnim abo f p displaystyle f pi dlya deyakogo nezvidnogo mnogochlena p T displaystyle pi T zi starshim koeficiyentom rivnim 1 abo f displaystyle f infty Arhimedovi absolyutni znachennya na poli ta tili Teoremoyu Ostrovskogo takozh nazivayut pov yazanij rezultat sho opisuye z tochnistyu do ekvivalentnosti vsi arhimedovi absolyutni znachennya na dovilnomu poli chi bilsh zagalno tili yaksho x displaystyle x arhimedove absolyutne znachennya na tili K to isnuye take vkladennya K na deyake vsyudi shilne pidtilo tila R C displaystyle mathbb R mathbb C abo H displaystyle mathbb H tilo kvaternioniv sho x displaystyle x ye ekvivalentnim absolyutnomu znachennyu indukovanomu z R C displaystyle mathbb R mathbb C abo H displaystyle mathbb H yaksho K ye polem to vsi mozhlivi vkladennya ye na polya R C displaystyle mathbb R mathbb C Div takozhP adichne chislo Absolyutne znachennya algebra Modul chislaLiteraturaCassels J W S 1986 Local Fields London Mathematical Society Student Texts T 3 Cambridge University Press ISBN 0 521 31525 5 Zbl 0595 12006 Janusz Gerald J 1996 Algebraic Number Fields vid 2nd American Mathematical Society ISBN 0 8218 0429 4 Jacobson Nathan 1989 Basic algebra II vid 2 e W H Freeman ISBN 0 7167 1933 9 Ostrowski Alexander 1916 Uber einige Losungen der Funktionalgleichung f x f y f xy Acta Mathematica vid 2 e 41 1 271 284 doi 10 1007 BF02422947 ISSN 0001 5962 nedostupne posilannya