Теорема Меньє

У диференційній геометрії теоремою Меньє називається твердження про властивості кривини на поверхні, яке було доведено у 1776 році (опубліковано 1785 році) французьким вченим Жаном Батістом Меньє.

Необхідні означення

Нехай ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ — регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі і ${\displaystyle \alpha (t):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to S}$ — регулярна крива, образ якої належить поверхні S і ${\displaystyle \alpha (0)=p\in S.}$ Нехай крива параметризується своєю довжиною. Тоді ${\displaystyle |\alpha '(t)|=1}$ в усіх точках кривої. Якщо ${\displaystyle |\alpha ''(0)|\neq 0}$ то вектор ${\displaystyle n={\frac {\alpha ''(0)}{|\alpha ''(0)|}}}$ називається одиничною нормаллю, а ${\displaystyle k=|\alpha ''(t)|}$ — кривиною кривої ${\displaystyle \alpha (t)}$ у точці p. Також нехай N позначає одиничний нормальний вектор до площини S у точці p (тобто одиничний вектор, що є ортогональним до дотичної площини поверхні у даній точці із певним вибором напрямку).

Нормальною кривиною ${\displaystyle k_{n}}$ кривої ${\displaystyle \alpha (t)}$ у точці ${\displaystyle \alpha (0)=p}$ у цьому випадку називається довжина ортогональної проєкції ${\displaystyle \alpha ''(0)}$ на пряму задану вектором N. Якщо кривина прямої у точці рівна нулю, то і її нормальна кривина рівна нулю.

Якщо ${\displaystyle \phi }$ — кут між векторами N і n то можна явно записати ${\displaystyle k_{n}=k\operatorname {cos} \phi }$ або через скалярний добуток ${\displaystyle k_{n}=(N,\alpha ''(0)).}$

Теорема Меньє

Теорема Меньє стверджує, що нормальна кривина кривої ${\displaystyle \alpha (t):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to S}$ у точці ${\displaystyle \alpha (0)=p\in S}$ залежить лише від напрямку дотичного вектора ${\displaystyle \alpha '(t)}$ у цій точці. Тобто якщо дві регулярні криві (параметризовані своїми довжинами) мають однаковий дотичний вектор у точці p, то і їх нормальні криві у цій точці будуть однаковими.

Доведення

Нехай N(t) — одиничні нормалі до поверхні S у точках ${\displaystyle \alpha (t).}$ Згідно означення нормальні кривини у точках прямої тоді є рівними ${\displaystyle (N(t),\alpha ''(t)).}$ За означеннями ${\displaystyle (N(t),\alpha '(t))=0}$ і продиференціювавши цю рівність отримуємо ${\displaystyle k_{n}=(N(0),\alpha ''(0))=-(N'(0),\alpha '(0))=(dN_{p}(\alpha '(0)),\alpha '(0))}$ де ${\displaystyle dN_{p}}$ — диференціал у точці p нормального відображення із поверхні S на одиничну сферу, що кожній точці поверхні співставляє одиничну нормаль у цій точці. При означенні ${\displaystyle dN_{p}}$ дотичні поверхні до S і у відповідній точці сфери ототожнюються (загалом вони є паралельними). Таким чином нормальна кривина залежить тільки від ${\displaystyle \alpha '(0).}$

Наслідки

• З теореми Меньє випливає, що поняття нормальної кривини має значення для одиничних векторів на дотичній площині ${\displaystyle T_{p}S.}$ Кожен такий вектор x, разом із нормаллю N задає деяку площину перетин якої із S утворює регулярну криву ${\displaystyle \gamma }$ для якої (при параметризації довжиною) x є дотичним вектором і кривина якої у точці p є рівною нормальній кривині. Крива ${\displaystyle \gamma }$ називається нормальним перетином поверхні S із дотичним вектором x.

• З теореми Меньє також випливає те, що для регулярної кривої ${\displaystyle \alpha (t):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to S}$ із дотичним вектором x у точці p кривина залежить тільки від нормалі до прямої оскільки нормаль до поверхні і нормальна кривина у цьому випадку задані однозначно. Зокрема нормальну кривину можна однозначно визначити як звичайну кривину нормального перерізу.

• Для нормального перетину ${\displaystyle \gamma }$із дотичним вектором x центром стичного кола є точка ${\displaystyle p+(1/k_{n})N}$ і його радіус очевидно є рівним ${\displaystyle 1/k_{n}.}$Для довільної іншої кривої у S із дотичним вектором x у точці p стичне коло у цій точці за означенням належить площині заданій векторами x і n, центром стичного кола є точка ${\displaystyle p+(1/k)n}$і радіус кола є рівним 1/k. Згідно теореми Меньє кривина кривої визначається лише кутом між N і n і ${\displaystyle 1/k=1/k_{n}\cos \phi }$. Тому радіуси стичних кіл задовольняють співвідношення ${\displaystyle R(\phi )=\cos \phi /k_{n}.}$ Як наслідок всі такі стичні кола лежать на сфері із центром у точці ${\displaystyle p+(1/k_{n})N}$і радіусом ${\displaystyle 1/k_{n}.}$

Примітки

1. Meusnier J. Mémoire sur la courbure des surface // Mémoires de Mathématique et de Physique présentés à l'Académie Royale des Sciences, par Divers Savants, & lûs dans ses Assemblées (Paris), 1785, v. 10, p. 477–510.

Див. також

• Кривина
• Поверхня
• Стичне коло

Література

• Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN .
• Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN .