Теорема Кіршбрауна

Теорема Кіршбрауна про продовження (іноді називають теоремою Валентайна) — теорема про існування продовження ліпшицевої функції, визначеної на підмножині евклідового простору, на весь простір.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle S}$ — довільна підмножина евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, тоді довільне коротке відображення ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{m}}$ можна продовжити до короткого відображення ${\displaystyle {\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$; інакше кажучи, існує коротке відображення ${\displaystyle {\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ таке, що ${\displaystyle {\bar {f}}|_{S}=f}$.

Варіації та узагальнення

• Природно узагальнюється на:
  • відображення з підмоножини гільбертового простору в гільбертів простір;
  • відображення з підмоножини гіперболічного простору у гіперболічний простір тієї ж кривини
• Аналогічний результат для відображення між сферами хибний, проте теорема залишається істинною для:
  • відображення з підмоножини сфери в півсферу тієї ж кривини;
  • відображення з підмоножини сфери у сферу тієї ж кривини не меншої розмірності.
• Аналогічний результат для банахових просторів є хибним.

Метрична геометрія

• Узагальнення теореми Кіршбрауна на метричні простори дали Ленг та Шредер.
• Будь-яке коротке відображення на підмножині довільного метричного простору зі значеннями в ін'єктивному просторі допускає коротке продовження на весь простір. Це дає інше узагальнення теореми на метричні простори. До ін'єктивних просторів належать дійсні прямі та метричні дерева, а також ${\displaystyle L^{\infty }}$-простори.
• Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо ${\displaystyle X}$ — метричний простір із властивістю подвоєння та ${\displaystyle A\subset X}$ і ${\displaystyle V}$ — банахів простір, то будь-яке ${\displaystyle L}$-ліпшицеве відображення ${\displaystyle A\to V}$ продовжується до ${\displaystyle C\cdot L}$-ліпшицевого відображення ${\displaystyle X\to V}$, де стала ${\displaystyle C}$ залежить лише від параметра у властивості подвоєння.

Історія

Доведено в дисертації Мойжеша Кіршбрауна (захищено 1930). Пізніше цю теорему передовів Фредерік Валентайн.

Див. також

• Теорема Тітце про продовження

Примітки

1. Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535—560.
2. Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
3. 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
4. M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.
5. F. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943.