Властивість подвоєння

Властивість подвоєння — умова, що накладається на міри, визначені на метричних просторах, а також самі метричні простори.

Визначення

Міри

Нагадаємо, що в довільному метричному просторі ${\displaystyle B(x,r)}$ позначає кулю з центром ${\displaystyle x}$ та радіусом ${\displaystyle r}$.

Ненульова міра ${\displaystyle \mu }$ на метричному просторі задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала ${\displaystyle C}$ така, що

${\displaystyle 0<\mu [B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot \mu [B(x,r)]<\infty }$

для всіх ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle r>0}$.

Метричні простори

Метричний простір ${\displaystyle X}$ задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала ${\displaystyle M}$, така, що будь-яку кулю радіуса ${\displaystyle r}$ у ${\displaystyle X}$ можна покрити ${\displaystyle M}$ кулями радіуса ${\displaystyle r/2}$.

Зауваження

Іноді розглядають слабший варіант властивості подвоєння, за якого потрібно, щоб радіус ${\displaystyle r}$ не перевищував деякого додатного сталого ${\displaystyle r_{0}}$.

Властивості

• Будь-який метричний простір із мірою, що задовольняє властивості подвоєння, сам задовольняє властивості подвоєння.
  • І навпаки, на будь-якому повному метричному просторі з властивістю подвоєння існує міра з властивістю подвоєння.
• (Теорема Асада) Нехай метричний простір ${\displaystyle (X,d)}$ задовольняє властивості подвоєння, тоді для будь-кого ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, простір ${\displaystyle (X,d^{\alpha })}$ допускає біліпшицеве вкладення в евклідів простір досить високої розмірності.
• Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо ${\displaystyle X}$ — метричний простір із властивістю подвоєння та ${\displaystyle A\subset X}$ і ${\displaystyle V}$ — банахів простір, то будь-яке ${\displaystyle L}$ -ліпшицеве відображення ${\displaystyle A\to V}$ продовжується до ${\displaystyle C\cdot L}$-ліпшицевого відображення ${\displaystyle X\to V}$, де стала ${\displaystyle C}$ залежить лише від параметра у властивості подвоєння.

Приклади

• Міра Лебега в евклідовому просторі задовольняє якості подвоєння. Стала дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}}$, де ${\displaystyle m}$ позначає розмірність.

Примітки

1. Heinonen, Juha. Lectures on Analysis on Metric Spaces. — New York : , 2001. — С. x+140. — .
2. Luukainen, Jouni. Every complete doubling metric space carries a doubling measure //  : journal. — 1998. — Vol. 126 (18 July). — P. 531—534. — DOI:10.1090/s0002-9939-98-04201-4.
3. 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.