Теорема Гротендіка про розщеплення

Теорема Гротендіка про розщеплення дає класифікацію голоморфних векторних розшарувань над комплексною проективною прямою. А саме, вона стверджує, що кожне голоморфне векторне розшарування над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ є прямою сумою голоморфних 1-вимірних розшарувань.

Історія

Теорему названо на честь Александра Гротендіка, який довів її в 1957 році. Вона еквівалентна теоремі, доведеній 1913 року Джорджем Біркгофом, але була відома вже 1908 року Йосипу Племелю і 1905 року Давиду Гільберту.

Формулювання

Формулювання Гротендіка

Кожне голоморфне векторне розшарування ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ голоморфно ізоморфне прямій сумі лінійних розшарувань:

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),}$

де ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)}$ позначає розшарування з класом Черна ${\displaystyle a}$. Більш того, це подання єдине з точністю до перестановки доданків.

Формулювання Біркгофа

Оборотна матриця ${\displaystyle M}$, кожна компонента якої є від ${\displaystyle z}$, подається у вигляді добутку

${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$,

де матриця ${\displaystyle M^{+}}$ — многочлен від ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle M^{0}}$ — діагональна матриця, і матриця ${\displaystyle M^{-}}$ — многочлен від ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$.

Застосування

• Теорема Гротендіка про розщеплення використовується в доведенні Мікалефа і Мура теореми про сферу з додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.

Варіації та узагальнення

• Той же результат має місце для над ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ для будь-якого поля ${\displaystyle k}$.

Примітки

1. Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann, American Journal of Mathematics, 79: 121•138, doi:10.2307/2372388.
2. Birkhoff, George David (1909), Singular points of ordinary linear differential equations, Transactions of the American Mathematical Society, 10 (4): 436—470, doi:10.2307/1988594, ISSN 0002-9947
3. Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 211—245.
4. Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
5. Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. (1982), A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line, Journal of Pure and Applied Algebra, 25 (2): 207—211, doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8

Література

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, Birkhäuser.