Теорема Гассе про еліптичні криві

Теорема Гассе про еліптичні криві (англ. Hasse's theorem on elliptic curves, англ. Hasse bound – рамки Гассе) дає верхню та нижню оцінки кількості точок на еліптичній кривій над скінченним полем.

Теорема Гассе про еліптичні криві
Формула	${\displaystyle |N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}$
Підтримується Вікіпроєктом

Нехай ${\displaystyle N}$ – кількість точок на еліптичній кривій ${\displaystyle E}$ над скінченним полем з ${\displaystyle q}$ елементів, Гельмут Гассе показав, що

${\displaystyle |N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}$

В якості гіпотези цю оцінку висунув Еміль Артін в 1924 році. Вона була доведена Гассе в 1933 році, доведення було опубліковано в серії статей у 1936 році.

Теорема Гассе еквівалентна визначенню абсолютного значення коренів локальної дзета-функції Е. У цьому вигляді її можна розглядати як аналог гіпотези Рімана для ^[en], асоційованого з еліптичною кривою.

Рамки Гассе — Вейля

Узагальненням рамок Гассе для алгебраїчних кривих вищого роду є рамки Гассе — Вейля. Вони встановлюють обмеження на кількість точок кривої над скінченним полем. Нехай ${\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})}$ – кількість точок кривої ${\displaystyle C}$ роду ${\displaystyle g}$ над скінченним полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, тоді

${\displaystyle |\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

Цей результат також еквівалентний визначенню абсолютного значення коренів локальної дзета-функції ${\displaystyle C}$, і є аналогом гіпотези Рімана для поля функцій, асоційованого з кривою.

Рамки Гассе — Вейля зводяться до звичайних рамок Гассе при застосуванні до еліптичних кривих, бо вони мають рід ${\displaystyle g=1}$.

Рамки Гассе — Вейля є наслідком гіпотез Вейля, висунутих Андре Вейлем у 1949 році. Ці гіпотези були доведені в 1974 році П'єром Делінем.

Див. також

• Алгоритм Шуфа

Примітки

1. Artin, Emil (1924), Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil, Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207—246, doi:10.1007/BF01181075, ISSN 0025-5874, JFM 51.0144.05, MR 1544652
2. Hasse, Helmut (1936), Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III, Crelle's Journal, 1936 (175), doi:10.1515/crll.1936.175.193, ISSN 0075-4102, Zbl 0014.14903
3. Weil, André (1949), Numbers of solutions of equations in finite fields, Bulletin of the American Mathematical Society (journal), 55, no. 5: 497—508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904 — MR 0029393.
4. Deligne, Pierre (1974), La Conjecture de Weil: I, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273—307, doi:10.1007/BF02684373, ISSN 0073-8301, Zbl 0287.14001 — MR 340258.

Джерела

• Hurt, Norman E. (2003), Many Rational Points. Coding Theory and Algebraic Geometry, Mathematics and its Applications, т. 564, Dordrecht: Kluwer/Springer-Verlag, ISBN , MR 2042828
• Niederreiter, Harald; (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton: Princeton University Press, ISBN , MR 2573098
• Chapter V of Silverman, Joseph H. (1994), The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, т. 106, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1329092
• Washington, Lawrence C. (2008), Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography, 2nd Ed, Discrete Mathematics and its Applications, Boca Raton: /CRC Press, ISBN , MR 2404461