Суперкорінь

У математиці суперкорінь — одна з двох обернених функцій тетрації.

Так само як піднесення до степеня має дві [обернені функції (корінь і логарифм), так і тетрація має дві обернені функції: суперкорінь і суперлогарифм. Це зумовлено некомутативністю гіпероператора при ${\displaystyle N>2}$. Суперкорінь не є елементарною функцією.

Визначення

Для будь-якого невід'ємного цілого числа ${\displaystyle n\geqslant 0}$ суперкорінь ${\displaystyle n}$-го степеня з ${\displaystyle a>0}$ можна визначити, як один із розв'язків рівняння: ${\displaystyle {}^{n}x=a}$.

Графік функції суперкореня другого степеня

Суперкорінь — неоднозначна функція. Так, при ${\displaystyle n=2}$ і ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant a<1}$ рівняння вигляду ${\displaystyle {}^{2}x=a}$ має два суперкорені з ${\displaystyle a}$, причому обидва вони будуть додатні та менші від ${\displaystyle 1}$. Ця двоїстість значень пояснюється тим, що функція ${\displaystyle f(x)={}^{n}x}$ немонотонна.

Суперкорінь не завжди можна добути навіть із додатного числа, що є наслідком наявності у функцій виду ${\displaystyle f(x)={}^{n}x}$ глобального мінімуму. Наприклад, при ${\displaystyle n=2}$ похідна функції ${\displaystyle f(x)={}^{2}x}$ має одну точку екстремуму ${\displaystyle x={\frac {1}{e}}}$, тому знаходження значень суперкореня другого степеня з ${\displaystyle x}$ при ${\displaystyle 0<x<{\biggl (}{\frac {1}{e}}{\biggr )}^{\frac {1}{e}}}$ стає неможливим (див. графік).

Приклади

Приклади добування суперкореня з додатного дійсного числа:

• Суперкорінь четвертого ступеня з 65536 дорівнює 2, оскільки ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}=65536;}$
• Суперкорінь другого степеня з 27 дорівнює 3, оскільки ${\displaystyle 3^{3}=27;}$
• Суперкорінь другого степеня з ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ має два значення: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ і ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, оскільки ${\displaystyle {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2^{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{2\times {\frac {1}{4}}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$

Суперкорінь другого степеня та функція Ламберта

Функція суперкореня другого степеня виражається через W-функцію Ламберта. А саме, розв'язком рівняння ${\displaystyle x^{x}=a}$ є

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (a)=e^{W(\mathrm {ln} (a))}}$.

Оскільки функція Ламберта ${\displaystyle W(z)}$ є багатозначною функцією на інтервалі ${\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)}$, то й отримання суперкореня другого ступеня є неоднозначною функцією на ${\displaystyle (e^{-1/e},1)}$.

Відкриті проблеми

• Для жодного цілого ${\displaystyle n>3}$ невідомо, чи є корінь рівняння ${\displaystyle {}^{n}x=2}$ раціональним, алгебричним ірраціональним чи трансцендентним числом.

Примітки

1. Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5 (29 June). — С. 333. — DOI:10.1007/BF02124750.

Посилання

• (англ.)
• Сайт про тетрацію Даніеля Гейслера (англ.)
• Форум з обговорення тетрації (англ.)
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.