Статисти́чна моде́ль — абстрактна схема відношень між величинами, що характеризують властивості реального процесу, розробка якої здійснюється неформальним шляхом. Статистична модель являє собою процес генерування даних, часто в значно ідеалізованій формі.
У статистичній моделі поєднується інформація двох типів:
- апріорі логічно обґрунтованих гіпотез щодо природи та характеру властивостей процесу, співвідношень і взаємозв'язків між ними;
- емпіричних даних, які характеризують ці властивості.
Статистична модель зазвичай визначається за допомогою математичних рівнянь, які відносяться до однієї/кількох випадкових величин і інших невипадкових змінних. Таким чином, «модель є формальним поданням теорії» ( з посиланням на Кеннет Болльна).
В цілому, статистичні моделі є частиною фундаменту статистичного висновування.
Визначення
Статистична модель — це пара змінних (), де
— це множина спостережень (наприклад простір елементарних подій), а
— множина ймовірних розподілів на
.
Передбачається, що існує «істинний» розподіл ймовірностей, викликаний процесом, який генерує спостережувані дані. Виберемо так, щоб зобразити множину розподілу, яка містить апроксимуючий розподіл. Немає строгої необхідності, щоб
містив дійсний розподіл, та й на практиці це трапляється рідко. Дійсно, як Burnham & Anderson константували, «Модель є спрощенням або наближенням до дійсності, а отже, не буде відображати всю реальність» — звідки і з'явилося твердження, що «всі моделі є неправильними».
Множина є у більшості випадків параметризованою:
. Множина
визначає параметри моделі.
Параметризація зазвичай потрібна, аби мати різні значення параметрів, що приводять до різних розподілів, тобто має виконуватися (іншими словами, вона повинна бути ін'єктивною). Параметризація, яка задовольняє умови, може бути ідентифікованою.
Загальні зауваження
Статистична модель являє собою особливий клас математичної моделі. Статистичну модель від інших математичних моделей відрізняє те, що статистична модель не є детермінованою. Таким чином, у статистичній моделі, визначеної за допомогою математичних рівнянь, деякі зі змінних не мають конкретних значень, проте натомість мають розподіл імовірностей, тобто деякі змінні є стохастичними.
Статистичні моделі часто використовуються навіть тоді, коли змодельований фізичний процес є детермінованим. Так, наприклад, підкидання монети, детермінований процес, але наразі він моделюється як стохастичний (через процес Бернуллі).
Статистичні моделі мають 3 основні цілі, згідно з теорією :
- Передбачення
- Отримання інформації
- Опис стохастичних структур
Обсяг моделі
Нехай, ми маємо статистичну модель: (), де
. Модель називається параметричною, якщо
є обмеженою величиною. У позначеннях вказуємо, що
де d — додатнє ціле число (також можна вказати
— область дійсних чисел або ж інші області). У даному випадку, d називається величиною моделі.
Наприклад, якщо ми припускаємо, що дані ми беремо з одновимірного розподілу Гауса, тоді ми отримаємо:
У цьому прикладі, величина d = 2.
Вкладені моделі
Дві статистичні моделі є вкладеними, якщо перша модель може бути перетворена у другу шляхом накладення обмежень на параметри першої моделі. Наприклад, множину всіх розподілів Гауса має, вкладену в нього, множину розподілу Гауса з нульовим сподаванням: ми обмежуємо сподівання в множині всіх розподілів Гауса, щоб отримати розподіл з нульовим середнім розподілом.
Порівняння моделей
Передбачається, що існує «істинний» розподіл ймовірностей спостережуваних даних, викликаний процесом, генеруючим дані. Вибір моделі залежить від елементів з , яких апроксимація є найближчою до точного розв'язку.
Моделі можуть бути зіставлені один з одним для порівняння за допомогою пошукового аналізу даних або перевірки статистичних гіпотез. У пошуковому аналізі різноманітність моделей формулються і оцінюються залежно від того, наскільки добре кожна з моделей описує дані. При перевірці статистичних гіпотез раніше сформулювана модель/моделі порівнюються з існуючими. Загальні критерії для порівняння моделей включають коефіцієнт детермінації, коефіцієнт Баєса, і перевірка відношенням правдоподібності.
Коніші і Кітагава констатували: «Більшість проблем статистичного висновування можна вважати проблемами, пов'язаними з статистичним моделюванням. Вони, як правило, формулюються як порівняння декількох статистичних моделей ..».
Джерела та література
- Єріна А. М. Статистичне моделювання та прогнозування: Навч. посібник. — К. : КНЕУ, 2001. — 170 с.(укр.)
- (2008), Modelling, у Adèr, H.J.; Mellenbergh, G.J. (ред.), Advising on Research Methods: a consultant's companion, Huizen, The Netherlands: Johannes van Kessel Publishing, с. 271—304.
- Burnham, K. P.; Anderson, D. R. (2002), Model Selection and Multimodel Inference (вид. 2nd), Springer-Verlag, ISBN .
- (2006), Principles of Statistical Inference, Cambridge University Press.
- Konishi, S.; Kitagawa, G. (2008), Information Criteria and Statistical Modeling, Springer.
- (2002), What is a statistical model?, , 30: 1225—1310, doi:10.1214/aos/1035844977.
Див. також
- Статистичне моделювання
- Наукове моделювання
- Математична статистика
- Регресійний аналіз
- Графова модель
- Детерміновані системи
- Планування експерименту
- Передбачувальне моделювання
![]() | Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Statisti chna mode l abstraktna shema vidnoshen mizh velichinami sho harakterizuyut vlastivosti realnogo procesu rozrobka yakoyi zdijsnyuyetsya neformalnim shlyahom Statistichna model yavlyaye soboyu proces generuvannya danih chasto v znachno idealizovanij formi U statistichnij modeli poyednuyetsya informaciya dvoh tipiv apriori logichno obgruntovanih gipotez shodo prirodi ta harakteru vlastivostej procesu spivvidnoshen i vzayemozv yazkiv mizh nimi empirichnih danih yaki harakterizuyut ci vlastivosti Statistichna model zazvichaj viznachayetsya za dopomogoyu matematichnih rivnyan yaki vidnosyatsya do odniyeyi kilkoh vipadkovih velichin i inshih nevipadkovih zminnih Takim chinom model ye formalnim podannyam teoriyi z posilannyam na Kennet Bollna V cilomu statistichni modeli ye chastinoyu fundamentu statistichnogo visnovuvannya ViznachennyaStatistichna model ce para zminnih S P displaystyle S mathcal P de S displaystyle S ce mnozhina sposterezhen napriklad prostir elementarnih podij a P displaystyle mathcal P mnozhina jmovirnih rozpodiliv na S displaystyle S Peredbachayetsya sho isnuye istinnij rozpodil jmovirnostej viklikanij procesom yakij generuye sposterezhuvani dani Viberemo P displaystyle mathcal P tak shob zobraziti mnozhinu rozpodilu yaka mistit aproksimuyuchij rozpodil Nemaye strogoyi neobhidnosti shob P displaystyle mathcal P mistiv dijsnij rozpodil ta j na praktici ce traplyayetsya ridko Dijsno yak Burnham amp Anderson konstantuvali Model ye sproshennyam abo nablizhennyam do dijsnosti a otzhe ne bude vidobrazhati vsyu realnist zvidki i z yavilosya tverdzhennya sho vsi modeli ye nepravilnimi Mnozhina P displaystyle mathcal P ye u bilshosti vipadkiv parametrizovanoyu P P8 8 8 displaystyle mathcal P P theta theta in Theta Mnozhina 8 displaystyle Theta viznachaye parametri modeli Parametrizaciya zazvichaj potribna abi mati rizni znachennya parametriv sho privodyat do riznih rozpodiliv tobto P81 P82 81 82 displaystyle P theta 1 P theta 2 Rightarrow theta 1 theta 2 maye vikonuvatisya inshimi slovami vona povinna buti in yektivnoyu Parametrizaciya yaka zadovolnyaye umovi mozhe buti identifikovanoyu Zagalni zauvazhennyaStatistichna model yavlyaye soboyu osoblivij klas matematichnoyi modeli Statistichnu model vid inshih matematichnih modelej vidriznyaye te sho statistichna model ne ye determinovanoyu Takim chinom u statistichnij modeli viznachenoyi za dopomogoyu matematichnih rivnyan deyaki zi zminnih ne mayut konkretnih znachen prote natomist mayut rozpodil imovirnostej tobto deyaki zminni ye stohastichnimi Statistichni modeli chasto vikoristovuyutsya navit todi koli zmodelovanij fizichnij proces ye determinovanim Tak napriklad pidkidannya moneti determinovanij proces ale narazi vin modelyuyetsya yak stohastichnij cherez proces Bernulli Statistichni modeli mayut 3 osnovni cili zgidno z teoriyeyu Peredbachennya Otrimannya informaciyi Opis stohastichnih strukturObsyag modeliNehaj mi mayemo statistichnu model S P displaystyle S mathcal P de P P8 8 8 displaystyle mathcal P P theta theta in Theta Model nazivayetsya parametrichnoyu yaksho 8 displaystyle Theta ye obmezhenoyu velichinoyu U poznachennyah vkazuyemo sho 8 Rd displaystyle Theta subseteq mathbb R d de d dodatnye cile chislo takozh mozhna vkazati R displaystyle mathbb R oblast dijsnih chisel abo zh inshi oblasti U danomu vipadku d nazivayetsya velichinoyu modeli Napriklad yaksho mi pripuskayemo sho dani mi beremo z odnovimirnogo rozpodilu Gausa todi mi otrimayemo P Pm s x 12psexp x m 22s2 m R s gt 0 displaystyle mathcal P P mu sigma x equiv frac 1 sqrt 2 pi sigma exp left frac x mu 2 2 sigma 2 right mu in mathbb R sigma gt 0 U comu prikladi velichina d 2 Vkladeni modeliDvi statistichni modeli ye vkladenimi yaksho persha model mozhe buti peretvorena u drugu shlyahom nakladennya obmezhen na parametri pershoyi modeli Napriklad mnozhinu vsih rozpodiliv Gausa maye vkladenu v nogo mnozhinu rozpodilu Gausa z nulovim spodavannyam mi obmezhuyemo spodivannya v mnozhini vsih rozpodiliv Gausa shob otrimati rozpodil z nulovim serednim rozpodilom Porivnyannya modelejPeredbachayetsya sho isnuye istinnij rozpodil jmovirnostej sposterezhuvanih danih viklikanij procesom generuyuchim dani Vibir modeli zalezhit vid elementiv z P displaystyle mathcal P yakih aproksimaciya ye najblizhchoyu do tochnogo rozv yazku Modeli mozhut buti zistavleni odin z odnim dlya porivnyannya za dopomogoyu poshukovogo analizu danih abo perevirki statistichnih gipotez U poshukovomu analizi riznomanitnist modelej formulyutsya i ocinyuyutsya zalezhno vid togo naskilki dobre kozhna z modelej opisuye dani Pri perevirci statistichnih gipotez ranishe sformulyuvana model modeli porivnyuyutsya z isnuyuchimi Zagalni kriteriyi dlya porivnyannya modelej vklyuchayut koeficiyent determinaciyi koeficiyent Bayesa i perevirka vidnoshennyam pravdopodibnosti Konishi i Kitagava konstatuvali Bilshist problem statistichnogo visnovuvannya mozhna vvazhati problemami pov yazanimi z statistichnim modelyuvannyam Voni yak pravilo formulyuyutsya yak porivnyannya dekilkoh statistichnih modelej Dzherela ta literaturaYerina A M Statistichne modelyuvannya ta prognozuvannya Navch posibnik K KNEU 2001 170 s ukr 2008 Modelling u Ader H J Mellenbergh G J red Advising on Research Methods a consultant s companion Huizen The Netherlands Johannes van Kessel Publishing s 271 304 Burnham K P Anderson D R 2002 Model Selection and Multimodel Inference vid 2nd Springer Verlag ISBN 0 387 95364 7 2006 Principles of Statistical Inference Cambridge University Press Konishi S Kitagawa G 2008 Information Criteria and Statistical Modeling Springer 2002 What is a statistical model 30 1225 1310 doi 10 1214 aos 1035844977 Div takozhStatistichne modelyuvannya Naukove modelyuvannya Matematichna statistika Regresijnij analiz Grafova model Determinovani sistemi Planuvannya eksperimentu Peredbachuvalne modelyuvannya Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi