Стала Маделунга — використовується для визначення електростатичного потенціалу окремого іона в кристалі шляхом наближення іонів точковими зарядами.
Стала Маделунга | |
Названо на честь | Ервін Маделунг |
---|---|
Розмірність | |
Символ величини (LaTeX) | і |
Підтримується Вікіпроєктом |
Загальний опис
Названа на честь Ервіна Маделунга, німецького фізика.
Оскільки аніони та катіони в іонному твердому тілі притягуються один до одного за рахунок своїх протилежних зарядів, то розділення іонів вимагає певної кількості енергії. Цю енергію необхідно передати системі, щоб розірвати аніон-катіонний зв'язок. Енергія, яка необхідна для розриву цих зв'язків для одного моля іонного твердого тіла за нормальних умов, є [en].
Формальний вираз
Константа Маделунга дозволяє розрахувати електричний потенціал всіх іонів ґратки, які реагують на іон у положенні
де — відстань між -м і -м іонами,
Якщо відстані нормовані на відстань найближчого сусіда , то потенціал можна записати як
де — (безрозмірна) константа Маделунга -го іона
Інша домовленість полягає в тому, щоб встановити базову довжину кубічного кореня з об'єму елементарної комірки , яка для кубічних систем дорівнює періоду ґратки. Тоді постійна Маделунга обчислюється як
Електростатична енергія іона у положенні дорівнює добутку його заряду на потенціал, що діє у цьому положенні:
У [Кристалічна структура|кристалічній структурі] стільки ж констант Маделунга скільки іони займають різних вузлів решітки. Наприклад, для іонного кристала NaCl виникають дві константи Маделунга — одна для і інша для . Оскільки обидва іони займають вузли ґратки з однаковою симетрією, то вони обидва мають однакову величину і відрізняються лише за знаком. Електричний заряд іонів і вважається однократним додатним і від'ємним, відповідно та . Відстань до найближчого сусіда дорівнює половині періоду ґратки кубічної одиничної комірки одиничної комірки і константи Маделунга дорівнюють:
Штрих вказує на те, що член слід опустити. Оскільки ця сума умовно збіжна, то вона не підходить для визначення константи Маделунга, якщо не вказано порядок суми. Існують два «очевидних» методи суми цього ряду, шляхом розкладів кубів або розкладів сфер. Останній, хоча й позбавлений змістовної фізичної інтерпретації (сферичних кристалів немає), досить популярний через свою простоту. Таким чином, у літературі часто зустрічається наступний розклад:
Однак це неправильно, оскільки цей ряд розходиться, як було показано Емерслебеном у 1951 році. Підсумування за розкладними кубами збігається до правильного значення. Однозначне математичне визначення дають [en], Дж. Борвейн і Тейлор за допомогою аналітичного продовження абсолютно збіжного ряду.
Існує багато практичних методів для обчислення константи Маделунга за допомогою або прямого підсумовування (наприклад, метод Ев'єна), або інтегральних перетворень, які використовуються в [en].
Іон в кристалічній сполуці | (на основі ) | (на основі ) |
---|---|---|
і в CsCl | ||
і в кам'яній солі NaCl | ||
і в сфалериті ZnS | ||
у [en] | ||
у [en] |
Неперервне зменшення зі зменшенням координаційного числа для трьох кубічних сполук (з урахуванням подвоєних зарядів у ) пояснює спостережувану [en] [en] кристалів до кристалізації в структурі з найвищим , який сумісний з їхніми іонними радіусами. Зверніть також увагу на те, як структура флюориту, яка є проміжною між структурами хлориду цезію та структурами сфалериту, відображається в константах Маделунга.
Формула
Швидко збіжний оператор для константи Маделунга :
Узагальнення
Для розрахунку констант Маделунга передбачається, що щільність заряду іона може бути апроксимована точковим зарядом. Це допускається, якщо розподіл електронів іона сферично-симетричний. Проте в окремих випадках, коли іони знаходяться на ділянці ґратки певних кристалографічних точкових груп, може знадобитися знаходження моментів вищих порядків, тобто мультипольних моментів щільності заряду. За допомогою електростатики показано, що взаємодія між двома точковими зарядами враховує лише перший член загального ряду Тейлора, що описує взаємодію між двома розподілами зарядів довільної форми. Відповідно, константа Маделунга представляє лише [en]-монопольний член.
Таким чином, модель електростатичної взаємодії іонів у твердих тілах була розширена до концепції точкового мультиполя, яка також включає вищі мультипольні моменти, такі як диполі, квадрополі тощо. Ці концепції вимагають визначення констант Маделунга вищих порядків, а також так звані електростатичні постійні ґратки. Правильний розрахунок електростатичних постійних ґраток має враховувати [[[Кристалічний клас|кристалографічні точкові групи]]] вузлів іонної ґратки; наприклад, дипольні моменти можуть виникати лише на полярних вузлах ґратки, тобто проявляючи , , або вузлову симетрію . Виявилося, що ці константи Маделунга другого порядку мають значний вплив на [en] та інші фізичні властивості гетерополярних кристалів.
Застосування для органічних солей
Константа Маделунга також є корисною величиною для опису енергії ґратки органічних солей. Ізгородіна зі співаторами описали узагальнений метод (так званий EUGEN метод) розрахунку постійної Маделунга для будь-якої кристалічної структури.
Примітки
- Madelung E (1918). Das elektrische Feld in Systemen von regelmäßig angeordneten Punktladungen. Phys. Z. XIX: 524—533.
- Charles Kittel: Introduction to Solid State Physics, Wiley 1995,
- Emersleben, O. (1951). Das Selbstpotential einer endlichen Reihe neutraler äquidistanter Punktepaare. Mathematische Nachrichten. 4 (3–4): 468. doi:10.1002/mana.3210040140.
- Borwein, D.; Borwein, J. M.; Taylor, K. F. (1985). Convergence of Lattice Sums and Madelung's Constant. J. Math. Phys. 26 (11): 2999—3009. Bibcode:1985JMP....26.2999B. doi:10.1063/1.526675.
- Evjen, H. M. (1932). On the Stability of Certain Heteropolar Crystals (PDF). Phys. Rev. 39 (4): 675—687. Bibcode:1932PhRv...39..675E. doi:10.1103/physrev.39.675.
- Ewald, P. P. (1921). Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale. Ann. Phys. 64 (3): 253—287. Bibcode:1921AnP...369..253E. doi:10.1002/andp.19213690304.
- Bailey, David; Borwein, Jonathan; Kapoor, Vishaal; Weisstein, Eric (9 березня 2006). legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/tenproblems.pdf Ten Problems in Experimental Mathematics (PDF). The American Mathematical Monthly. 113 (6): 481. doi:10.2307/27641975. JSTOR 27641975.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url () - J. Kanamori; T. Moriya; K. Motizuki; T. Nagamiya (1955). Methods of Calculating the Crystalline Electric Field. J. Phys. Soc. Jpn. 10 (2): 93—102. Bibcode:1955JPSJ...10...93K. doi:10.1143/JPSJ.10.93.
- B. R. A. Nijboer; F. W. de Wette (1957). On the calculation of lattice sums. Physica. 23 (1–5): 309—321. Bibcode:1957Phy....23..309N. doi:10.1016/S0031-8914(57)92124-9.
- E. F. Bertaut (1978). The equivalent charge concept and its application to the electrostatic energy of charges and multipoles. J. Phys. (Paris). 39 (2): 1331—48. Bibcode:1978JPCS...39...97B. doi:10.1016/0022-3697(78)90206-8.
- name= ZPB1995a>M. Birkholz (1995). Crystal-field induced dipoles in heteropolar crystals – I. concept. Z. Phys. B. 96 (3): 325—332. Bibcode:1995ZPhyB..96..325B. doi:10.1007/BF01313054. S2CID 122527743.
- M. Birkholz (1995). Crystal-field induced dipoles in heteropolar crystals – II. physical significance. Z. Phys. B. 96 (3): 333—340. Bibcode:1995ZPhyB..96..333B. doi:10.1007/BF01313055. S2CID 122393358.
- E. Izgorodina та ін. (2009). The Madelung Constant of Organic Salts. Crystal Growth & Design. 9 (11): 4834—4839. doi:10.1021/cg900656z.
Посилання
- Glasser, Leslie (2012). Solid-state energetics and electrostatics: Madelung constants and Madelung energies. Inorg. Chem. 51 (4): 2420—2424. doi:10.1021/ic2023852. PMID 22242970.
- Sakamoto, Y. (1958). Madelung constants of simple crystals expressed in terms of Born's basic potentials of 15 figures. J. Chem. Phys. 28 (1): 164—165. Bibcode:1958JChPh..28..164S. doi:10.1063/1.1744060.
- Sakamoto, Y. (1958). Errata 2: Madelung constants of simple crystals expressed in terms of Born's basic potentials of 15 figures. J. Chem. Phys. 28 (6): 1253. Bibcode:1958JChPh..28.1253S. doi:10.1063/1.1744387.
- Zucker, I. J. (1975). Madelung constants and lattice sums for invariant cubic lattice complexes and certain tetragonal structures. J. Phys. A: Math. Gen. 8 (11): 1734—1745. Bibcode:1975JPhA....8.1734Z. doi:10.1088/0305-4470/8/11/008.
- Zucker, I. J. (1976). Functional equations for poly-dimensional zeta functions and the evaluation of Madelung constants. J. Phys. A: Math. Gen. 9 (4): 499—505. Bibcode:1976JPhA....9..499Z. doi:10.1088/0305-4470/9/4/006.
- Weisstein, Eric W. Madelung Constants(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- OEIS sequence A085469 (Decimal expansion of Madelung constant (negated) for NaCl structure)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Stala Madelunga vikoristovuyetsya dlya viznachennya elektrostatichnogo potencialu okremogo iona v kristali shlyahom nablizhennya ioniv tochkovimi zaryadami Stala Madelunga Nazvano na chestErvin Madelung Rozmirnist1 displaystyle 1 Simvol velichini LaTeX M displaystyle M i a displaystyle alpha Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaKonstanta Madelunga rozrahovuyetsya dlya iona NaCl poznachenogo 0 metodom rozkladnih sfer Kozhne chislo poznachaye poryadok z yakim vono pidsumovuyetsya Zauvazhimo sho v comu vipadku suma rozbizhna ale isnuyut metodi yiyi pidsumovuvannya yaki dayut zbizhnij ryad Zagalnij opisNazvana na chest Ervina Madelunga nimeckogo fizika Oskilki anioni ta kationi v ionnomu tverdomu tili prityaguyutsya odin do odnogo za rahunok svoyih protilezhnih zaryadiv to rozdilennya ioniv vimagaye pevnoyi kilkosti energiyi Cyu energiyu neobhidno peredati sistemi shob rozirvati anion kationnij zv yazok Energiya yaka neobhidna dlya rozrivu cih zv yazkiv dlya odnogo molya ionnogo tverdogo tila za normalnih umov ye en Formalnij virazKonstanta Madelunga dozvolyaye rozrahuvati elektrichnij potencial V i displaystyle V i vsih ioniv gratki yaki reaguyut na ion u polozhenni r i displaystyle r i V i e 4 p ϵ 0 j i z j r i j displaystyle V i frac e 4 pi epsilon 0 sum j neq i frac z j r ij de r i j r i r j displaystyle r ij r i r j vidstan mizh i displaystyle i m i j displaystyle j m ionami z j dorivnyuye kilkosti zaryadiv j go iona e 1 602 2 10 19 Kl 4 p ϵ 0 1 112 10 10 Kl 2 Dzh m displaystyle begin aligned amp z j text dorivnyuye kilkosti zaryadiv j text go iona amp e 1 6022 times 10 19 text Kl amp 4 pi epsilon 0 1 112 times 10 10 cdot text Kl 2 text Dzh cdot text m end aligned Yaksho vidstani r i j displaystyle r ij normovani na vidstan najblizhchogo susida r 0 displaystyle r 0 to potencial mozhna zapisati yak V i e 4 p ϵ 0 r 0 j z j r 0 r i j e 4 p ϵ 0 r 0 M i displaystyle V i frac e 4 pi epsilon 0 r 0 sum j frac z j r 0 r ij frac e 4 pi epsilon 0 r 0 cdot M i de M i displaystyle M i bezrozmirna konstanta Madelunga i displaystyle i go iona M i j z j r i j r 0 displaystyle M i sum j frac z j r ij r 0 Insha domovlenist polyagaye v tomu shob vstanoviti bazovu dovzhinu kubichnogo korenya z ob yemu elementarnoyi komirki w displaystyle w yaka dlya kubichnih sistem dorivnyuye periodu gratki Todi postijna Madelunga obchislyuyetsya yak M i j z j r i j w M i r 0 w displaystyle overline M i sum j frac z j r i j w M i frac r 0 w Elektrostatichna energiya iona u polozhenni r i displaystyle r i dorivnyuye dobutku jogo zaryadu na potencial sho diye u comu polozhenni E e l i z i e V i e 2 4 p ϵ 0 r 0 z i M i displaystyle E rm el i z i eV i frac e 2 4 pi epsilon 0 r 0 z i M i U Kristalichna struktura kristalichnij strukturi stilki zh konstant Madelunga M i displaystyle M i skilki ioni zajmayut riznih vuzliv reshitki Napriklad dlya ionnogo kristala NaCl vinikayut dvi konstanti Madelunga odna dlya N a displaystyle rm Na i insha dlya C l displaystyle rm Cl Oskilki obidva ioni zajmayut vuzli gratki z odnakovoyu simetriyeyu to voni obidva mayut odnakovu velichinu i vidriznyayutsya lishe za znakom Elektrichnij zaryad ioniv N a displaystyle rm Na i C l displaystyle rm Cl vvazhayetsya odnokratnim dodatnim i vid yemnim vidpovidno z N a 1 displaystyle z rm Na 1 ta z C l 1 displaystyle z rm Cl 1 Vidstan do najblizhchogo susida dorivnyuye polovini periodu gratki kubichnoyi odinichnoyi komirki odinichnoyi komirki r 0 a 2 displaystyle r 0 a 2 i konstanti Madelunga dorivnyuyut M N a M C l j k ℓ 1 j k ℓ j 2 k 2 ℓ 2 1 2 displaystyle M rm Na M rm Cl sum j k ell infty infty prime frac 1 j k ell j 2 k 2 ell 2 1 2 Cej grafik demonstruye rozbizhnist metodu rozkladnih sfer dlya rozrahunku postijnoyi Madelunga dlya NaCl porivnyano z metodom rozkladnih kubiv yakij ye zbizhnim Shtrih vkazuye na te sho chlen j k ℓ 0 displaystyle j k ell 0 slid opustiti Oskilki cya suma umovno zbizhna to vona ne pidhodit dlya viznachennya konstanti Madelunga yaksho ne vkazano poryadok sumi Isnuyut dva ochevidnih metodi sumi cogo ryadu shlyahom rozkladiv kubiv abo rozkladiv sfer Ostannij hocha j pozbavlenij zmistovnoyi fizichnoyi interpretaciyi sferichnih kristaliv nemaye dosit populyarnij cherez svoyu prostotu Takim chinom u literaturi chasto zustrichayetsya nastupnij rozklad M 6 12 2 8 3 6 2 24 5 1 747 56 displaystyle M 6 12 sqrt 2 8 sqrt 3 6 2 24 sqrt 5 dotsb 1 74756 dots Odnak ce nepravilno oskilki cej ryad rozhoditsya yak bulo pokazano Emerslebenom u 1951 roci Pidsumuvannya za rozkladnimi kubami zbigayetsya do pravilnogo znachennya Odnoznachne matematichne viznachennya dayut en Dzh Borvejn i Tejlor za dopomogoyu analitichnogo prodovzhennya absolyutno zbizhnogo ryadu Isnuye bagato praktichnih metodiv dlya obchislennya konstanti Madelunga za dopomogoyu abo pryamogo pidsumovuvannya napriklad metod Ev yena abo integralnih peretvoren yaki vikoristovuyutsya v en Prikladi konstant Madelunga Ion v kristalichnij spoluci M displaystyle M na osnovi r 0 displaystyle r 0 M displaystyle overline M na osnovi w displaystyle w C l displaystyle rm Cl i C s displaystyle rm Cs v CsCl 1 762 675 displaystyle pm 1 762675 1 762 675 displaystyle pm 1 762675 C l displaystyle rm Cl i N a displaystyle rm Na v kam yanij soli NaCl 1 747 565 displaystyle pm 1 747565 3 495 129 displaystyle pm 3 495129 S 2 displaystyle rm S 2 i Z n 2 displaystyle rm Zn 2 v sfaleriti ZnS 3 276 110 displaystyle pm 3 276110 7 565 85 displaystyle pm 7 56585 F displaystyle rm F u en 1 762 675 displaystyle 1 762675 4 070 723 displaystyle 4 070723 C a 2 displaystyle rm Ca 2 u en 3 276 110 displaystyle 3 276110 7 565 85 displaystyle 7 56585 Neperervne zmenshennya M displaystyle M zi zmenshennyam koordinacijnogo chisla Z displaystyle Z dlya troh kubichnih spoluk A B displaystyle AB z urahuvannyam podvoyenih zaryadiv u Z n S displaystyle rm ZnS poyasnyuye sposterezhuvanu en en kristaliv do kristalizaciyi v strukturi z najvishim Z displaystyle Z yakij sumisnij z yihnimi ionnimi radiusami Zvernit takozh uvagu na te yak struktura flyuoritu yaka ye promizhnoyu mizh strukturami hloridu ceziyu ta strukturami sfaleritu vidobrazhayetsya v konstantah Madelunga FormulaShvidko zbizhnij operator dlya konstanti Madelunga N a C l displaystyle rm NaCl 12 p m n 1 neparni sech 2 p 2 m 2 n 2 1 2 displaystyle 12 pi sum m n geq 1 text neparni operatorname sech 2 left frac pi 2 left m 2 n 2 right 1 2 right UzagalnennyaDlya rozrahunku konstant Madelunga peredbachayetsya sho shilnist zaryadu iona mozhe buti aproksimovana tochkovim zaryadom Ce dopuskayetsya yaksho rozpodil elektroniv iona sferichno simetrichnij Prote v okremih vipadkah koli ioni znahodyatsya na dilyanci gratki pevnih kristalografichnih tochkovih grup mozhe znadobitisya znahodzhennya momentiv vishih poryadkiv tobto multipolnih momentiv shilnosti zaryadu Za dopomogoyu elektrostatiki pokazano sho vzayemodiya mizh dvoma tochkovimi zaryadami vrahovuye lishe pershij chlen zagalnogo ryadu Tejlora sho opisuye vzayemodiyu mizh dvoma rozpodilami zaryadiv dovilnoyi formi Vidpovidno konstanta Madelunga predstavlyaye lishe en monopolnij chlen Takim chinom model elektrostatichnoyi vzayemodiyi ioniv u tverdih tilah bula rozshirena do koncepciyi tochkovogo multipolya yaka takozh vklyuchaye vishi multipolni momenti taki yak dipoli kvadropoli tosho Ci koncepciyi vimagayut viznachennya konstant Madelunga vishih poryadkiv a takozh tak zvani elektrostatichni postijni gratki Pravilnij rozrahunok elektrostatichnih postijnih gratok maye vrahovuvati Kristalichnij klas kristalografichni tochkovi grupi vuzliv ionnoyi gratki napriklad dipolni momenti mozhut vinikati lishe na polyarnih vuzlah gratki tobto proyavlyayuchi C 1 displaystyle C 1 C 1 h displaystyle C 1 h C n displaystyle C n abo C n v displaystyle C nv vuzlovu simetriyu n 2 3 4 6 displaystyle n 2 3 4 6 Viyavilosya sho ci konstanti Madelunga drugogo poryadku mayut znachnij vpliv na en ta inshi fizichni vlastivosti geteropolyarnih kristaliv Zastosuvannya dlya organichnih solejKonstanta Madelunga takozh ye korisnoyu velichinoyu dlya opisu energiyi gratki organichnih solej Izgorodina zi spivatorami opisali uzagalnenij metod tak zvanij EUGEN metod rozrahunku postijnoyi Madelunga dlya bud yakoyi kristalichnoyi strukturi PrimitkiMadelung E 1918 Das elektrische Feld in Systemen von regelmassig angeordneten Punktladungen Phys Z XIX 524 533 Charles Kittel Introduction to Solid State Physics Wiley 1995 ISBN 0 471 11181 3 Emersleben O 1951 Das Selbstpotential einer endlichen Reihe neutraler aquidistanter Punktepaare Mathematische Nachrichten 4 3 4 468 doi 10 1002 mana 3210040140 Borwein D Borwein J M Taylor K F 1985 Convergence of Lattice Sums and Madelung s Constant J Math Phys 26 11 2999 3009 Bibcode 1985JMP 26 2999B doi 10 1063 1 526675 Evjen H M 1932 On the Stability of Certain Heteropolar Crystals PDF Phys Rev 39 4 675 687 Bibcode 1932PhRv 39 675E doi 10 1103 physrev 39 675 Ewald P P 1921 Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale Ann Phys 64 3 253 287 Bibcode 1921AnP 369 253E doi 10 1002 andp 19213690304 Bailey David Borwein Jonathan Kapoor Vishaal Weisstein Eric 9 bereznya 2006 legacy lbl gov dhbailey dhbpapers tenproblems pdf Ten Problems in Experimental Mathematics PDF The American Mathematical Monthly 113 6 481 doi 10 2307 27641975 JSTOR 27641975 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Obslugovuvannya CS1 Storinki z parametrom url status ale bez parametra archive url posilannya J Kanamori T Moriya K Motizuki T Nagamiya 1955 Methods of Calculating the Crystalline Electric Field J Phys Soc Jpn 10 2 93 102 Bibcode 1955JPSJ 10 93K doi 10 1143 JPSJ 10 93 B R A Nijboer F W de Wette 1957 On the calculation of lattice sums Physica 23 1 5 309 321 Bibcode 1957Phy 23 309N doi 10 1016 S0031 8914 57 92124 9 E F Bertaut 1978 The equivalent charge concept and its application to the electrostatic energy of charges and multipoles J Phys Paris 39 2 1331 48 Bibcode 1978JPCS 39 97B doi 10 1016 0022 3697 78 90206 8 name ZPB1995a gt M Birkholz 1995 Crystal field induced dipoles in heteropolar crystals I concept Z Phys B 96 3 325 332 Bibcode 1995ZPhyB 96 325B doi 10 1007 BF01313054 S2CID 122527743 M Birkholz 1995 Crystal field induced dipoles in heteropolar crystals II physical significance Z Phys B 96 3 333 340 Bibcode 1995ZPhyB 96 333B doi 10 1007 BF01313055 S2CID 122393358 E Izgorodina ta in 2009 The Madelung Constant of Organic Salts Crystal Growth amp Design 9 11 4834 4839 doi 10 1021 cg900656z PosilannyaGlasser Leslie 2012 Solid state energetics and electrostatics Madelung constants and Madelung energies Inorg Chem 51 4 2420 2424 doi 10 1021 ic2023852 PMID 22242970 Sakamoto Y 1958 Madelung constants of simple crystals expressed in terms of Born s basic potentials of 15 figures J Chem Phys 28 1 164 165 Bibcode 1958JChPh 28 164S doi 10 1063 1 1744060 Sakamoto Y 1958 Errata 2 Madelung constants of simple crystals expressed in terms of Born s basic potentials of 15 figures J Chem Phys 28 6 1253 Bibcode 1958JChPh 28 1253S doi 10 1063 1 1744387 Zucker I J 1975 Madelung constants and lattice sums for invariant cubic lattice complexes and certain tetragonal structures J Phys A Math Gen 8 11 1734 1745 Bibcode 1975JPhA 8 1734Z doi 10 1088 0305 4470 8 11 008 Zucker I J 1976 Functional equations for poly dimensional zeta functions and the evaluation of Madelung constants J Phys A Math Gen 9 4 499 505 Bibcode 1976JPhA 9 499Z doi 10 1088 0305 4470 9 4 006 Weisstein Eric W Madelung Constants angl na sajti Wolfram MathWorld OEIS sequence A085469 Decimal expansion of Madelung constant negated for NaCl structure