Системи числення

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід'ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід'ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини — діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв'язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.

Розрізняють такі типи систем числення:

• позиційні
• змішані
• непозиційні

Історія виникнення систем числення

Історично першими виникли непозиційні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідав кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку X відповідала кількість елементів множини, яка дорівнювала 10.

У подальшому такими знаками-числами користувалися також і для одержання інших чисел. Так, якщо перед знаком X ставилась вертикальна риска, то отримували знак IX, який означав, що від десяти треба відняти одиницю і результат буде дорівнювати 9. Знаки, подібні X, називаються вузловими. Вони широко використовувалися в первісних непозиційних системах числення. Слід ще раз зазначити, що серед цих знаків не було такого, який би відповідав нулю. Це свідчить про те, що нуль у той час ще не був сформований як число.

Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування, через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам'ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому з розвитком науки виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції. Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних. Більш докладно ці системи числення будуть розглянуті нижче, тому що вони складають на сьогодні основу теорії систем числення взагалі.

Позиційна система

Докладніше: Позиційні системи числення

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle b>1}$, яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b - натуральне число (${\displaystyle b>1}$), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}}$, де ${\displaystyle a_{k}}$ — цілі, ${\displaystyle 0\leq a_{k}<b}$

Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

Приклад

Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

${\displaystyle 204=2\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+4\cdot 10^{0}}$

Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

Змішана система

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою ${\displaystyle b}$ і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$ і кожне число ${\displaystyle x}$ представляється як лінійна комбінація:

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}}$, де на коефіцієнти ${\displaystyle a_{k}}$ (цифри) накладаються деякі обмеження.

Якщо ${\displaystyle b_{k}=b^{k}}$ для деякого ${\displaystyle b}$, то змішана система збігається з ${\displaystyle b}$-основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню ${\displaystyle d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s}$ секунд.

Система числення Фібоначчі

Докладніше: Система числення Фібоначчі

Представлення засновується на числах Фібоначчі:

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n}f_{k}F_{k}}$, де ${\displaystyle F_{k}}$ — числа Фібоначчі, ${\displaystyle f_{k}\in \{0,1\}}$, при цьому у записі ${\displaystyle f_{n}f_{n-1}\dots f_{0}}$ не зустрічаються дві одиниці підряд.

Факторіальна система числення

Представлення використовує факторіал натуральних чисел:

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}d_{k}k!}$, де ${\displaystyle 0\leq d_{k}\leq k}$.

Біноміальна система числення

Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \choose k}}$, де ${\displaystyle 0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}}$.

Система числення мая

Мая використовували двадцяткову систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.

Непозиційна система

Докладніше: Непозиційні системи числення

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій як цифри використовуються латинські букви:

Римська цифра	Десяткове значення
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Застосування

У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвіркова та шісткова системи. У інформаційних технологіях застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.

Див. також

• Позиційні системи числення
• Непозиційні системи числення
• Нега-позиційна система числення
• Єгипетська система числення
• Арабська система числення
• Старослов'янська система числення
• Римська система числення
• Двійкова система числення
• Четвіркова система числення
• П'ятіркова система числення
• Вісімкова система числення
• Десяткова система числення
• Шістнадцяткова система числення
• Числова система залишків
• Система числення Фібоначчі