Рівняння Паулі

Рівняння Паулі або рівняння Паулі-Шредінгера — нерелятивістське рівняння руху квантової частинки зі спіном 1/2 в електромагніному полі.

Рівняння Паулі є узагальненням рівняння Шредінгера для частинок зі спіном. Водночас воно не є Лоренц-інваріантним. Відповідне Лоренц-інваріантне квантовомеханічне рівняння — рівняння Дірака.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={{\hat {H}}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {\mathbf {p} }}-{e \over c}\mathbf {A} )^{2}{\hat {I}}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} )\right]\psi }$

де спінор ${\displaystyle \psi }$ — описує квантову частинку, наприклад, електрон, ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамільтоніан, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$ — оператор імпульсу, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторний потенціал, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — вектор магнітної індукції, ${\displaystyle \varphi }$ — електричний потенціал, ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ — матриці Паулі, ${\displaystyle {\hat {I}}}$ — одинична матриця, ${\displaystyle m}$ — маса частинки, e — її заряд, ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка, c — швидкість світла.

Рівняння вперше записав Вольфганг Паулі.

Область застосування

Рівняння Паулі успішно описує квантові системи, для яких несуттєва спін-орбітальна взаємодія, зокрема вільні електрони, легкі атоми. Для важких атомів спін-орбітальну взаємодію слід враховувати, тому вони коректно описуються складнішим рівнянням Дірака.

Приклади

Частинка в стаціонарному магнітному полі

Частинка в стаціонарному однорідному магнітному полі описується рівнянням

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}_{0}\psi -\mu _{0}{\hat {\sigma }}_{z}B\psi }$,

де ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ — незалежний від спіну гамільтоніан, система координат вибрана так, щоб вісь z збігалася з напрямком магнітного поля, і введено позначення

${\displaystyle \mu _{0}={\frac {e\hbar }{2mc}}}$ — магнетон Бора.

Зважаючи на діагональність ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$, це рівняння матричне розпадається на два скалярні

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial t}}={\hat {H}}_{0}\psi _{1}-\mu _{0}B\psi _{1}}$,

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial t}}={\hat {H}}_{0}\psi _{2}+\mu _{0}B\psi _{2}}$,

які відрізняються знаком перед магнетоном Бора.

Відповідно, кожному власному значенню ${\displaystyle E_{0n}}$ гамільтоніану ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ відповідаються два власні значення гамільтоніану ${\displaystyle {\hat {H}}}$, один зі спіном «угору», другий зі спіном «униз». Енергії цих станів дорівнюють

${\displaystyle E_{n\uparrow }=E_{n0}-\mu _{0}B,\qquad E_{n\downarrow }=E_{n0}+\mu _{0}B,}$.

Джерела

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.