Рівнокутні прямі сімейство прямих у евклідовому просторі таке що кут між будь якими його двома прямими однаковий Обчисле

Рівнокутні прямі — сімейство прямих у евклідовому просторі таке, що кут між будь-якими його двома прямими однаковий.

Обчислення найбільшого числа рівнокутних прямих у n-вимірному евклідовом просторі є складною задачею і в загальному випадку нерозв'язаною, хоча межі відомі. Найбільше число рівнокутних прямих у двовимірному просторі дорівнює 3: можна провести прямі через протилежні вершини правильного шестикутника, тоді кожна пряма перетинатиме дві інші під кутом 120 градусів. Найбільше число в тривимірному просторі дорівнює 6: можна провести прямі через протилежні вершини ікосаедра. Відомо, що найбільше число в будь-якому числі вимірів $n$ менше або дорівнює ${\textstyle {\binom {n+1}{2}}}$ . Ця верхня межа є точною до сталого множника в побудові де Кана.

Найбільше число в розмірностях від 1 до 18 перелічено в Енциклопедії послідовностей цілих чисел:

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, 48, 48, …

Зокрема, найбільша кількість рівнокутних прямих у просторі розмірності 7 дорівнює 28. Можна отримати ці прямі в такий спосіб: береться вектор (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1) у $\mathbb {R} ^{8}$ та утворює всі 28 векторів переставлянням елементів вектора. Скалярний добуток будь-яких двох із цих векторів дорівнює 8, якщо існують два значення 3, розташовані в однаковій позиції, і -8 в інших випадках. Отже, прямі, на яких лежать ці вектори, рівнокутові. Однак усі 28 векторів ортогональні вектору (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) $\mathbb {R} ^{8}$ , так що всі вони лежать у 7-вимірному підпросторі. Фактично, ці 28 векторів (і від'ємні до них вектори), з точністю до поворотів, є 56 вершинами ^[en]. Іншими словами, вони є ваговими векторами 56-вимірного подання групи Лі .

Рівнокутні прямі еквівалентні два-графам. Нехай задано множину рівнокутних прямих і c дорівнює косинусу спільного кута. Ми вважаємо, що кут не дорівнює 90°, оскільки цей випадок тривіальний (не цікавий, оскільки прямі є просто координатними осями). Тоді c не дорівнює нулю. Ми можемо перенести прямі, щоб вони проходили через початок координат. Виберемо по одному одиничному вектору на кожній прямій. Утворимо матрицю M скалярних добуткі. Ця матриця має 1 на діагоналі та ± c на інших місцях, а також вона симетрична. Якщо відняти одиничну матрицю E і поділити на c, отримаємо симетричну матрицю з нульовою діагоналлю і ± 1 поза діагоналлю. А це ^[en] два-графа. І навпаки, будь-який два-граф можна подати у вигляді множини рівнокутних прямих.

Примітки

Lemmens, P. W. H; Seidel, J. J (1 березня 1973). Equiangular lines. Journal of Algebra (англ.). 24 (3): 494—512. doi:10.1016/0021-8693(73)90123-3. ISSN 0021-8693.
Caen, D. de (9 листопада 2000). Large Equiangular Sets of Lines in Euclidean Space. The Electronic Journal of Combinatorics (англ.). 7: R55. doi:10.37236/1533. ISSN 1077-8926.
van Lint, Seidel, 1966.

Література

Онлайн енциклопедія цілочисленних послідовностей, Найбільший розмір множини рівнокутних прямих у n-вимірному просторі, послідовність A002853.
A. E. Brouwer, A. M. Cohen, A. Neumaier. Секция 3.8 // Distance-Regular Graphs. — Berlin : Springer-Verlag, 1989.
Chris Godsil, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York : Springer-Verlag, 2001. — Т. 207.
Gosselin, S., Regular two-graphs and equiangular lines, Master's thesis, Mathematics Department, University of Waterloo, 2004.
J. H. van Lint, J. J. Seidel. Equilateral point sets in elliptic geometry // Indagationes Mathematicae. — 1966. — Т. 28. — (Proc. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Ser. A 69).

[1] Lemmens, P. W. H; Seidel, J. J (1 березня 1973). Equiangular lines. Journal of Algebra (англ.). 24 (3): 494—512. doi:10.1016/0021-8693(73)90123-3. ISSN 0021-8693.

[2] Caen, D. de (9 листопада 2000). Large Equiangular Sets of Lines in Euclidean Space. The Electronic Journal of Combinatorics (англ.). 7: R55. doi:10.37236/1533. ISSN 1077-8926.

[FOOTNOTEvan_Lint,_Seidel1966-3] van Lint, Seidel, 1966.