Радіальна базисна функція

Радіальна базисна функція (РБФ) — дійснозначна функція, чиє значення залежить від відстані до початку системи координат, тобто ${\displaystyle \phi ({\bf {{x})=\phi (\|{\bf {{x}\|)}}}}}$, або від відстані до деякої іншої точки ${\displaystyle {\bf {c}}}$, яка називається центром, тоді ${\displaystyle \phi \left(\mathbf {x} ,\mathbf {c} \right)=\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|\right)}$. Функція ${\displaystyle \phi }$, що задовольняє умові ${\displaystyle \phi \left(\mathbf {x} \right)=\phi \left(\left\|\mathbf {x} \right\|\right)}$, є ^[en]. Нормою зазвичай є евклідова відстань, хоча можлива будь-яка функція відстані.

Суми радіальних базисних функцій зазвичай використовують для ^[en]. Процес апроксимації можна розглядати як просту нейронну мережу. Саме в такому контексті вони й виникли у роботі ^[en] та Девіда Луї у 1988 році, що походить з дослідження ^[en] 1977 року. РБФ також використовуються як ^[en] в методі опорних векторів.

Типи

Часто використовувані типи радіальних базисних функцій (підставляємо ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$):

• Гаусова:
  $${\displaystyle \phi \left(r\right)=e^{-\left(\varepsilon r\right)^{2}}}$$
• :
  $${\displaystyle \phi \left(r\right)={\sqrt {1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}}$$
• :
  $${\displaystyle \phi \left(r\right)={\dfrac {1}{1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}}$$
• :
  $${\displaystyle \phi \left(r\right)={\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}}}$$
• Поліноміальний сплайн:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi \left(r\right)&=r^{k},&k&=1,3,5,\dotsc \\\phi \left(r\right)&=r^{k}\ln \left(r\right),&k&=2,4,6,\dotsc \end{aligned}}}$$
• ^[en]
  (спеціальний полігармонічний сплайн):
  $${\displaystyle \phi \left(r\right)=r^{2}\ln \left(r\right)}$$
• Лінійна:
  $${\displaystyle \phi (r)=r\,}$$
• Кубічна:
  $${\displaystyle \phi (r)=r^{3}\,}$$
• Функція Вендленда:
  $${\displaystyle \phi (r)={\begin{cases}\left(1-{\frac {r}{R}}\right)^{4}\left(4{\frac {r}{R}}+1\right),&{\frac {r}{R}}<1\\0,&{\frac {r}{R}}\geqslant 1\end{cases}}}$$
• Функція Ву:
  $${\displaystyle \phi (r)={\begin{cases}\left(1-{\frac {r}{R}}\right)^{4}\left(4+16{\frac {r}{R}}+12\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}+3\left({\frac {r}{R}}\right)^{3}\right),&{\frac {r}{R}}<1\\0,&{\frac {r}{R}}\geqslant 1\end{cases}}}$$

Апроксимація

Радіальні базисні функції зазвичай використовуються для побудови ^[en] у вигляді

$${\displaystyle y\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|\right),}$$

де функція, яка апроксимується ${\textstyle y\left(\mathbf {x} \right)}$ представлена у вигляді суми ${\displaystyle N}$ радіальних базисних функцій, кожна з яких береться з різним центром ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$, і множиться на відповідну вагу ${\textstyle w_{i}}$. Ваги ${\textstyle w_{i}}$ можна оцінити за допомогою матричних методів лінійних найменших квадратів, бо функція, яка апроксимується є лінійною відносно вагів ${\textstyle w_{i}}$.

Такі методи апроксимації зокрема використовуються ^[] в часових рядах, при управлінні нелінійними системами додаючи достатньо просту хаотичну поведінку та при 3D реконструкції у комп'ютерній графіці.

Мережа РБФ

Докладніше: Мережа радіальних базисних функцій

Дві ненормалізовані Гаусові радіальні базисні функції одного вхідного виміру. Базисна функція відцентрована відносно ${\textstyle x_{1}=0.75}$ та ${\textstyle x_{2}=3.25}$.

Суму

$${\displaystyle y\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|\right),}$$

можна інтерпретувати як доволі просту одношарову штучну мережу, яка називається мережею радіальних базисних функцій в якій РБФ відіграють роль функцій активації мережі. Можна показати, що будь-яку неперервну функція на відрізку можна інтерполювати з довільною точністю, як суму такого вигляду, якщо використати достатньо велике число ${\textstyle N}$ РБФ.

Апроксимація ${\textstyle y\left(\mathbf {x} \right)}$ є диференційовною відносно ваг ${\textstyle w_{i}}$. Тому ваги можуть бути навчені за допомогою стандартних ітераційний методів для нейронних мереж.

Використання радіальних базових функцій таким способом дає розумний інтерполяційний підхід, за умови, що тренувальна множина вибрана таким чином, що вона охоплює весь діапазон систематично (ідеально мати рівновіддалені точки). Проте, без поліноміального доданку, ортогонального радіальним базисним функціям, оцінки за межами тренувальної множини, як правило, погано виконуються.

Примітки

1. Radial Basis Function networks [ 2014-04-23 у Wayback Machine.]
2. Broomhead, David H.; Lowe, David (1988). (PDF). Complex Systems. 2: 321—355. Архів оригіналу (PDF) за 14 липня 2014.
3. ^[en] (1977). Restart procedures for the conjugate gradient method (PDF). . Springer. 12 (1): 241—254. doi:10.1007/bf01593790.
4. Sahin, Ferat (1997). (PDF) (M.Sc.). Virginia Tech. с. 26. Архів оригіналу (PDF) за 26 жовтня 2015. Процитовано 10 липня 2018. Radial basis functions were first introduced by Powell to solve the real multivariate interpolation problem.
5. Broomhead та Lowe, 1988, с. 347: «We would like to thank Professor M.J.D. Powell at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics at Cambridge University for providing the initial stimulus for this work.»
6. VanderPlas, Jake (6 травня 2015). . [O'Reilly]. Архів оригіналу за 5 вересня 2015. Процитовано 14 травня 2015.
7. Wendland H., Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree, Advances in Comp. Mathematics, 4, 1995.
8. Wu Z., Multivariate compactly supported positive definite radial functions, Advances in Computational Mathematics, 4(3), 1996.

Подальше читання

• Buhmann, Martin D. (2003), Radial Basis Functions: Theory and Implementations, Cambridge University Press, ISBN .
• Hardy, R.L. (1971). Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces. Journal of Geophysical Research. 76 (8): 1905—1915. Bibcode:1971JGR....76.1905H. doi:10.1029/jb076i008p01905.
• Hardy, R.L. (1990). Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988. Comp. math Applic. 19 (8/9): 163—208. doi:10.1016/0898-1221(90)90272-l.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), Section 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (вид. 3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 
• Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
• Sirayanone, S.; Hardy, R.L. (1995). The Multiquadric-biharmonic Method as Used for Mineral Resources, Meteorological, and Other Applications. Journal of Applied Sciences and Computations. 1: 437—475.

Див. також

• Мережа радіальних базисних функцій
• Метод опорних векторів
• Машинне навчання