Пропорційність (математика)

Пропорці́йними називаються дві взаємно залежні величини, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Рівність між відношеннями двох чи декількох пар чисел або величин в математиці називається пропорцією.

Пряма пропорційність

Змінна y є прямо пропорційною до змінної x.

Пряма́ пропорці́йність — стале відношення двох змінних величин. При збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друга величина. Такі величини називаються прямо пропорційними.

Нехай дано дві змінні x та y, y є прямопропорційною до x, якщо існує відмінна від нуля константа k, така, що

${\displaystyle y=kx}$

Співвідношення часто позначають використовуючи символи ∝ чи ~, наприклад

${\displaystyle y\propto x}$

і стале відношення

${\displaystyle k={\frac {y}{x}}}$

називається коефіцієнтом пропорційності.

Приклади

1. У випадку руху з постійною швидкістю пройдена відстань прямо пропорційна витраченому часу.
2. Якщо купують однаковий товар за фіксованою ціною, вартість товару прямо пропорційна його кількості.
3. Периметр квадрата з довжиною сторони а є прямо пропорційним довжині сторони.

Графік

Якщо y є прямо пропорційна до x, тоді графік y як функції від x є прямою лінією, що проходить через початок координат з нахилом, залежним від коефіцієнта пропорційності: вона відповідає лінійному росту.

Обернена пропорційність

Обернена пропорційна функція y = 1/x.

Обе́рнена пропорці́йність — це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргумента) призводить до пропорційного зменшення залежної величини (функції).

Дві змінні є обернено пропорційні, якщо кожна з них є прямо пропорційна до оберненої їй змінної. Нехай дано дві змінні x та y, y є обернено пропорційною до x, якщо існує відмінна від нуля константа k, така, що

${\displaystyle y={k \over x}}$

Приклади

1. Час подорожі є обернено пропорційним до швидкості, з якою відбувається подорож.
2. Час потрібний для виконання роботи є (приблизно) обернено пропорційним до кількості людей, що виконують роботу.

Графік

Графіком функції ${\displaystyle y=k/x}$, ${\displaystyle k\neq 0}$ в декартовій системі координат є рівностороння гіпербола з дійсною піввіссю ${\displaystyle {\sqrt {2\left\vert k\right\vert }}}$ (відстань від вершини до центру), з центром в початку координат та асимптотами — осями координат.

Експоненційна та логарифмічна пропорційності

Змінна y є експоненційно пропорційною до змінної x, якщо y є прямопропорційною до експоненційної функції від x, причому існують відмінні від нуля константи k та a, такі, що

${\displaystyle y=ka^{x}}$

Змінна y є логарифмічно пропорційною до змінної x, якщо y є прямопропорційною до логарифма від x, причому існують відмінні від нуля константи k та a, такі, що

${\displaystyle y=k\log _{a}(x)}$

Див. також

• Кореляція
• Евдокс Кнідський
• Золотий перетин
• Пропорційний шрифт
• Співвідношення
• Правило трьох
• Розмір вибірки
• Подібність

Зростання

• ^[en]
• Гіперболічне зростання

Примітки

1. Weisstein, Eric W. «Directly Proportional.» MathWorld — A Wolfram Web Resource
2. Weisstein, Eric W. «Inversely Proportional.» MathWorld — A Wolfram Web Resource

Джерела

• Ya.B. Zeldovich, : Higher math for Beginners. pp. 34-35
• Brian Burell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, , pp. 85-101
• Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORTIONALITY: A Unifying Theme for the Middle Grades. Mathematics Teaching in the Middle School 8.8 (2003), pp. 392-96 (JSTOR)
• Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: A Look at the Development of Ratios, Rates, and Proportionality. Mathematics Teaching in the Middle School, 13.3, 2007, pp. 140-42 (JSTOR)
• «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ» / Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 544 с.