Поліноміальний час

Клас складності P (англ. Complexity class P) — клас задач, що можна розв'язати алгоритмами з поліноміальним часом.

Формальне визначення

Алгоритмом з поліноміальним часом називається такий алгоритм, час роботи якого (тобто, кількість елементарних двійкових операцій, необхідних для його виконання на детермінованій машині Тюринга) на вхідному рядку довжиною ${\displaystyle l}$ обмежено згори деяким поліномом ${\displaystyle P(l)}$.

Задачі, що можна розв'язати алгоритмом з поліноміальним часом належать до класу задач складності P.

Машини Тюринга

Докладніше: Машина Тюринга

Машина Тюринга ${\displaystyle M}$ має часову складність (або час роботи) ${\displaystyle T(n)}$, якщо для довільного входу ${\displaystyle w}$ довжини ${\displaystyle n}$, не залежно від результату машина ${\displaystyle M}$ зупиниться після виконання щонайбільше ${\displaystyle T(n)}$ кроків.

Деяка мова ${\displaystyle L}$ належить до класу складності P, якщо існує поліноміальне ${\displaystyle T(n)}$ таке, що мова ${\displaystyle L}$ розпізнається деякою детермінованою машиною Тюринга ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle L=L(M)}$) з часовою складністю ${\displaystyle T(n)}$.

Практичне значення

Оскільки часто доводиться обчислювати значення функцій на вхідних даних великого обсягу, знаходження поліноміальних алгоритмів для обчислення функцій є дуже важливим завданням. Вважається, що обчислювати функції, які не лежать у класі ${\displaystyle P}$, помітно складніше, ніж лежать. Більшість алгоритмів, що лежать в класі ${\displaystyle P}$, мають складність, яка не перевершує многочлен в невеликій мірі від розміру вхідних даних.

Вужче визначення

Іноді під класом P мають на увазі вужчий клас функцій, а саме клас предикатів (функцій ${\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \{0,\,1\}}$). Тоді мова ${\displaystyle L}$, що розпізнає даний предикат, називається множиною слів, де предикат дорівнює 1. Мовами класу P називаються мови, для яких існують розпізнавальні їх предикати класу P. Очевидно, якщо мови ${\displaystyle L_{1}}$і ${\displaystyle L_{2}}$ лежать у класі P, то і їх об'єднання, перетин та доповнення також лежать в класі P^[].

Включення класу P в інші класи

Клас P є одним з найвужчих класів складності. Алгоритми, що належать йому, належать також класу NP, класу BPP (як допускають поліноміальну реалізацію з нульовою помилкою), класу PSPACE (т. к. зона роботи на машині Тюрінга завжди менше часу), (для доказу цього факту використовується поняття протоколу роботи машини, який переробляється в поліноміального розміру)^[].

Вже більше 30 років залишається невирішеною задача про рівність класів P і NP. Якщо вони рівні, то будь-яке завдання з класу NP можна буде вирішити швидко (за поліноміальний час). Однак наукове товариство схиляється в бік негативної відповіді на це питання. Крім того, не доведено і строгість включення до ширших класів, наприклад, в PSPACE, але рівність P і PSPACE виглядає нині дуже сумнівно.

Приклади

• Стандартний алгоритм множення матриць вимагає n³ операцій множення (хоча існують більш швидкі алгоритми, які теж мають поліноміальну швидкість, як, наприклад, алгоритм Штрассена).
• Степінь многочлена рідко буває великим. Один з таких випадків — запропонований в 2002 індійськими математиками тест Агравала — Каяла — Сакса, який з'ясовує, чи є число n простим, за O(log⁶n) операцій.

Завдання, приналежність яких класу P невідома

Існує багато задач, для яких не знайдено поліноміального алгоритму, але не доведено, що його не існує. Відповідно, невідомо, належать такі завдання класу ${\displaystyle P}$. Ось деякі з них:

• Задача комівояжера (а також всі інші ${\displaystyle NP}$-повні задачі). Поліноміальне розв'язання цієї задачі рівносильне встановленню рівності класів P і NP
• Розкладання числа на прості множники
• Дискретне логарифмування в скінченному полі
• з ${\displaystyle n}$ твірними
• Дискретне логарифмування в адитивній групі точок еліптичної кривої

Примітки

1. Рейнгольд, Нивергельт Ю., Део Н. (1980). Комбинаторные Алгоритмы (рос.) . Москва: Мир. с. 442—443.
2. John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman (2001). Introduction to Automata Theory, Languages and Computation (англ.) (вид. 2-ге). Addison-Wesley. ISBN .

Див. також

• Клас складності NP
• NP-складна задача
• NP-повна задача