Показниковий (або експоненційний) розподіл — абсолютно неперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними завершеннями однієї і тієї ж події.
Показниковий розподіл | |
---|---|
Щільність розподілу ![]() | |
Функція розподілу ймовірностей ![]() | |
Параметри | - інтенсивність або зворотність коефіцієнт масштабу |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | |
Медіана | |
Мода | |
Дисперсія | |
Коефіцієнт асиметрії | |
Коефіцієнт ексцесу | |
Ентропія | |
Твірна функція моментів (mgf) | |
Характеристична функція |
Визначення
Випадкова величина має експоненційний розподіл з параметром
, якщо її густина має вигляд
.
Часто можна бачити експоненційний розподіл зі зсувом (параметр зсуву )
.
Інколи сімейство експоненційних розподілів параметризують зворотнім параметром :
.
Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.
Приклад. Хай є магазин, в який час від часу заходять покупці. При визначених допущеннях, час між появами двох послідовних покупців буде випадковою величиною з експоненційним розподілом. Середній час очікування нового покупця (див. нижче) рівний . Сам параметр
може бути інтерпретований як середнє число нових покупців за одиницю часу.
У цій статті, для визначеності, передбачатимемо, що щільність експоненційної випадкової величини задана першим рівнянням, і писатимемо:
.
Функція розподілу
Інтегруючи щільність, отримаємо функцію експоненційного розподілу:
Моменти
За допомогою нескладного інтегрування знаходимо, що функція моментів для експоненційного розподілу має такий вигляд:
,
звідки отримуємо всі моменти:
.
,
.
Властивості
Відсутність пам'яті
Експоненційно розподілена випадкова змінна T підкоряється рівності
.
Якщо T інтерпретувати як час очікування на настання події відносно деякого початкового часу, це відношення говорить, що якщо T обумовлена неможливістю спостерегти подію протягом певного початкового періоду часу s, розподіл часу очікування, що залишився - такий самий, як і початковий розподіл без умови. Наприклад, якщо подія не трапилась після 30 секунд, умовна ймовірність того, що вона трапиться через щонайменше 10 секунд, дорівнює безумовній ймовірності, що вона трапиться через 10 секунд, не залежно від того чи вона трапилась в перші 30 секунд.
Наприклад, якщо час очікування на дощ - експоненційно розподілена випадкова величина, то ймовірність того, що дощу не буде в наступні дві години, за умови того, що дощ не падав останню годину, дорівнює ймовірності того, що дощу не буде в наступні дві години, якщо немає ніякої інформації про те, падав він до того чи ні.
Експоненційний та геометричний розподіли - це єдині розподіли з відсутністю пам'яті.
Квантилі
Квантильна функція (обернена функція розподілу) для експоненційного розподілу, записується:
для . Отже, квантилі:
- перший (25% процентиль)
- медіана
- третій (75% процентиль)
Розподіл мінімуму експоненційно розподілених випадкових величин
Нехай — незалежні випадкові величини розподілені за експоненційним розподілом з параметрами
. Тоді
також експоненційна випадкова величина з параметром
В цьому можна переконатися розглянувши доповнювальну функцію розподілу:
Індекс змінної, що є мінімумом, розподілений згідно з законом
Зауважте, що
не є експоненційно розподілена.
Інші властивості
Якщо розглядати порядкові статистики , з експоненціальним розподілом генеральної сукупності
, то випадкові величини
є незалежними.[]
Експоненційний розподіл у статистиці
Розглянемо генеральну сукупність .
Статистика вигляду є незміщеною, конзистентною та ефективною оцінкою параметру
розподілу генеральної сукупності. Незміщеність є наслідком того, що вибіркове середнє є незміщеною оцінкою для математичного сподівання випадкової величини, розподіл якої має генеральна сукупність.
Конзистентність. Використаємо критерій конзистентності для незміщених точкових оцінок. при
. Або можна використати те, що вибіркове середнє є конзистентною оцінкою математичного сподівання.
Для перевірки ефективності запишемо функцію правдоподібності: . Звідси логарифмічна функція правдоподібності:
. Переходимо до випадкової вибірки, маємо:
. А так як вибіркове середнє - незміщена оцінка параметра
, то за нерівністю Рао-Крамера для незміщених точкових оцінок отримуємо бажаний результат, тобто вибіркове середнє є ефективною оцінкою параметра
.
Показниковий закон розподілу
У найпростішому потоці подій випадкова величина T - інтервал часу між двома послідовними подіями - розподілена за допомогою показникового закону.
- Визначення
Неперервна випадкова величина розподілена за показниковим законом, якщо її густина розподілу має вигляд:
де λ — інтенсивність подій, тобто кількість подій в одиницю часу. Показниковий закон розподілу має тільки один параметр λ.
Таким чином, якщо випадкова величина Х має показниковий закон розподілу з параметром λ>0, це можна записати у вигляді
Показниковий розподіл є неперервним аналогом дискретного геометричного розподілу.
Див. також
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- (англ.)
- Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. - М.:Изд-во МГУ, 1987. - 264 с.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Exponential distribution(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
![]() | Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pokaznikovij abo eksponencijnij rozpodil absolyutno neperervnij rozpodil sho modelyuye chas mizh dvoma poslidovnimi zavershennyami odniyeyi i tiyeyi zh podiyi Pokaznikovij rozpodilShilnist rozpodiluFunkciya rozpodilu jmovirnostejParametril gt 0 displaystyle lambda gt 0 intensivnist abo zvorotnist koeficiyent masshtabuNosij funkciyix 0 displaystyle x in 0 infty Rozpodil imovirnostejl e l x displaystyle lambda e lambda x Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf 1 e l x displaystyle 1 e lambda x Serednyel 1 displaystyle lambda 1 Medianaln 2 l displaystyle ln 2 lambda Moda0 displaystyle 0 Dispersiyal 2 displaystyle lambda 2 Koeficiyent asimetriyi2 displaystyle 2 Koeficiyent ekscesu6 displaystyle 6 Entropiya1 ln l displaystyle 1 ln lambda Tvirna funkciya momentiv mgf 1 t l 1 displaystyle left 1 frac t lambda right 1 Harakteristichna funkciya 1 i t l 1 displaystyle left 1 frac it lambda right 1 ViznachennyaVipadkova velichina X displaystyle X maye eksponencijnij rozpodil z parametrom l gt 0 displaystyle lambda gt 0 yaksho yiyi gustina maye viglyad f X x l e l x x 0 0 x lt 0 displaystyle f X x left begin matrix lambda e lambda x amp x geq 0 0 amp x lt 0 end matrix right Chasto mozhna bachiti eksponencijnij rozpodil zi zsuvom parametr zsuvu x 0 displaystyle x 0 f X x l e l x x 0 x x 0 0 x lt x 0 displaystyle f X x left begin matrix lambda e lambda x x 0 amp x geq x 0 0 amp x lt x 0 end matrix right Inkoli simejstvo eksponencijnih rozpodiliv parametrizuyut zvorotnim parametrom 1 l displaystyle 1 lambda f X x 1 l e x x 0 l x x 0 0 x lt x 0 displaystyle f X x left begin matrix 1 over lambda e x x 0 over lambda amp x geq x 0 0 amp x lt x 0 end matrix right Obidva sposobi odnakovo prirodni i neobhidna lishe domovlenist yakij z nih vikoristovuyetsya Priklad Haj ye magazin v yakij chas vid chasu zahodyat pokupci Pri viznachenih dopushennyah chas mizh poyavami dvoh poslidovnih pokupciv bude vipadkovoyu velichinoyu z eksponencijnim rozpodilom Serednij chas ochikuvannya novogo pokupcya div nizhche rivnij 1 l displaystyle 1 lambda Sam parametr l displaystyle lambda mozhe buti interpretovanij yak serednye chislo novih pokupciv za odinicyu chasu U cij statti dlya viznachenosti peredbachatimemo sho shilnist eksponencijnoyi vipadkovoyi velichini X displaystyle X zadana pershim rivnyannyam i pisatimemo X E x p l displaystyle X sim mathrm Exp lambda Funkciya rozpodiluIntegruyuchi shilnist otrimayemo funkciyu eksponencijnogo rozpodilu F X x 1 e l x x 0 0 x lt 0 displaystyle F X x left begin matrix 1 e lambda x amp x geq 0 0 amp x lt 0 end matrix right MomentiZa dopomogoyu neskladnogo integruvannya znahodimo sho funkciya momentiv dlya eksponencijnogo rozpodilu maye takij viglyad M x t 1 t l 1 displaystyle mathrm M x t left 1 t over lambda right 1 zvidki otrimuyemo vsi momenti E X n n l n displaystyle mathbb E left X n right frac n lambda n E X 1 l displaystyle mathbb E X frac 1 lambda v a r X 1 l 2 displaystyle mathrm var X frac 1 lambda 2 VlastivostiVidsutnist pam yati Eksponencijno rozpodilena vipadkova zminna T pidkoryayetsya rivnosti Pr T gt s t T gt s Pr T gt t s t 0 displaystyle Pr left T gt s t T gt s right Pr T gt t qquad forall s t geq 0 Yaksho T interpretuvati yak chas ochikuvannya na nastannya podiyi vidnosno deyakogo pochatkovogo chasu ce vidnoshennya govorit sho yaksho T obumovlena nemozhlivistyu sposteregti podiyu protyagom pevnogo pochatkovogo periodu chasu s rozpodil chasu ochikuvannya sho zalishivsya takij samij yak i pochatkovij rozpodil bez umovi Napriklad yaksho podiya ne trapilas pislya 30 sekund umovna jmovirnist togo sho vona trapitsya cherez shonajmenshe 10 sekund dorivnyuye bezumovnij jmovirnosti sho vona trapitsya cherez 10 sekund ne zalezhno vid togo chi vona trapilas v pershi 30 sekund Napriklad yaksho chas ochikuvannya na dosh eksponencijno rozpodilena vipadkova velichina to jmovirnist togo sho doshu ne bude v nastupni dvi godini za umovi togo sho dosh ne padav ostannyu godinu dorivnyuye jmovirnosti togo sho doshu ne bude v nastupni dvi godini yaksho nemaye niyakoyi informaciyi pro te padav vin do togo chi ni Eksponencijnij ta geometrichnij rozpodili ce yedini rozpodili z vidsutnistyu pam yati Kvantili Kvantilna funkciya obernena funkciya rozpodilu dlya eksponencijnogo rozpodilu E l displaystyle E lambda zapisuyetsya F 1 p l ln 1 p l displaystyle F 1 p lambda frac ln 1 p lambda dlya 0 p lt 1 displaystyle 0 leq p lt 1 Otzhe kvantili pershij 25 procentil ln 4 3 l displaystyle ln 4 3 lambda mediana ln 2 l displaystyle ln 2 lambda tretij 75 procentil ln 4 l displaystyle ln 4 lambda Rozpodil minimumu eksponencijno rozpodilenih vipadkovih velichin Nehaj X 1 X n displaystyle X 1 dots X n nezalezhni vipadkovi velichini rozpodileni za eksponencijnim rozpodilom z parametrami l 1 l n displaystyle lambda 1 dots lambda n Todi min X 1 X n displaystyle min X 1 dots X n takozh eksponencijna vipadkova velichina z parametrom l l 1 l n displaystyle lambda lambda 1 cdots lambda n V comu mozhna perekonatisya rozglyanuvshi dopovnyuvalnu funkciyu rozpodilu Pr min X 1 X n gt x Pr X 1 gt x X n gt x i 1 n Pr X i gt x i 1 n exp x l i exp x i 1 n l i displaystyle begin aligned Pr min X 1 dots X n gt x amp Pr left X 1 gt x text dots text X n gt x right prod i 1 n Pr X i gt x amp prod i 1 n exp x lambda i exp left x sum i 1 n lambda i right end aligned Indeks zminnoyi sho ye minimumom rozpodilenij zgidno z zakonom Pr X k min X 1 X n l k l 1 l n displaystyle Pr X k min X 1 dots X n frac lambda k lambda 1 cdots lambda n Zauvazhte sho max X 1 X n displaystyle max X 1 dots X n ne ye eksponencijno rozpodilena Inshi vlastivosti Yaksho rozglyadati poryadkovi statistiki 3 1 3 2 3 n displaystyle xi 1 xi 2 xi n z eksponencialnim rozpodilom generalnoyi sukupnosti 3 E x p 1 l x 0 displaystyle xi sim mathrm Exp 1 lambda x 0 to vipadkovi velichini n 3 1 n i 1 3 i 3 i 1 i 2 n displaystyle n xi 1 n i 1 xi i xi i 1 i 2 n ye nezalezhnimi dzherelo Eksponencijnij rozpodil u statisticiRozglyanemo generalnu sukupnist 3 E x p 1 l displaystyle xi sim mathrm Exp 1 lambda Statistika viglyadu 8 3 1 3 n 3 1 n i 1 n 3 i displaystyle hat theta xi 1 ldots xi n bar xi frac 1 n sum limits i 1 n xi i ye nezmishenoyu konzistentnoyu ta efektivnoyu ocinkoyu parametru l displaystyle lambda rozpodilu generalnoyi sukupnosti Nezmishenist ye naslidkom togo sho vibirkove serednye ye nezmishenoyu ocinkoyu dlya matematichnogo spodivannya vipadkovoyi velichini rozpodil yakoyi maye generalna sukupnist Konzistentnist Vikoristayemo kriterij konzistentnosti dlya nezmishenih tochkovih ocinok D 3 1 n 2 D i 1 n 3 i 1 n D 3 l 2 n 0 displaystyle mathrm D bar xi frac 1 n 2 mathrm D sum limits i 1 n xi i frac 1 n mathrm D xi frac lambda 2 n to 0 pri n displaystyle n to infty Abo mozhna vikoristati te sho vibirkove serednye ye konzistentnoyu ocinkoyu matematichnogo spodivannya Dlya perevirki efektivnosti zapishemo funkciyu pravdopodibnosti L l x 1 x n i 1 n f X l x i 1 l n e 1 l i 1 n x i displaystyle L lambda x 1 dots x n prod limits i 1 n f X lambda x i frac 1 lambda n e frac 1 lambda sum limits i 1 n x i Zvidsi logarifmichna funkciya pravdopodibnosti ln L l x 1 x n n ln l 1 l i 1 n x i displaystyle ln L lambda x 1 dots x n n ln lambda frac 1 lambda sum limits i 1 n x i l ln L l x 1 x n n l 1 l 2 i 1 n x i displaystyle frac partial partial lambda ln L lambda x 1 dots x n frac n lambda frac 1 lambda 2 sum limits i 1 n x i Perehodimo do vipadkovoyi vibirki mayemo l ln L l 3 1 3 n n l n l 2 3 n l 2 3 l displaystyle frac partial partial lambda ln L lambda xi 1 dots xi n frac n lambda frac n lambda 2 bar xi frac n lambda 2 bar xi lambda A tak yak vibirkove serednye nezmishena ocinka parametra l displaystyle lambda to za nerivnistyu Rao Kramera dlya nezmishenih tochkovih ocinok otrimuyemo bazhanij rezultat tobto vibirkove serednye ye efektivnoyu ocinkoyu parametra l displaystyle lambda Pokaznikovij zakon rozpodilu U najprostishomu potoci podij vipadkova velichina T interval chasu mizh dvoma poslidovnimi podiyami rozpodilena za dopomogoyu pokaznikovogo zakonu Viznachennya Neperervna vipadkova velichina rozpodilena za pokaznikovim zakonom yaksho yiyi gustina rozpodilu maye viglyad f t 0 t lt 0 l e l t t 0 displaystyle f t begin cases 0 amp t lt 0 lambda e lambda t amp t geq 0 end cases de l intensivnist podij tobto kilkist podij v odinicyu chasu Pokaznikovij zakon rozpodilu maye tilki odin parametr l Takim chinom yaksho vipadkova velichina H maye pokaznikovij zakon rozpodilu z parametrom l gt 0 ce mozhna zapisati u viglyadi X E l displaystyle X in E lambda Pokaznikovij rozpodil ye neperervnim analogom diskretnogo geometrichnogo rozpodilu Div takozhGeometrichnij rozpodilDzherelaKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros angl Kozlov M V Prohorov A V Vvedenie v matematicheskuyu statistiku M Izd vo MGU 1987 264 s V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Exponential distribution angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi