Показником, або мультиплікативним порядком, цілого числа a за модулем m називається найменше додатне ціле число , таке, що
Показник визначений тільки для чисел a, взаємно простих за модулем m, тобто для елементів групи оборотних елементів (кільця лишків) за модулем m. При цьому, якщо показник числа a за модулем визначений, то він є дільником значення функції Ейлера (наслідок теореми Лагранжа).
Щоб показати залежність показника від a і m, його також позначають , а якщо m фіксоване, то просто .
Властивості
- , тому можна вважати, що показник задано на класі лишків за модулем m.
- . Зокрема, и , де — [en], а — функція Ейлера.
- ; якщо , то
- Якщо p — просте число і , то — всі розв'язки порівняння .
- Якщо p — просте число, то — твірна групи .
- Якщо — кількість класів лишків із показником , то . А для простих модулів навіть .
- Якщо p — просте число, то група лишків циклічна і тому, якщо , де g — твірна, , а k взаємно просте із , то . В загальному випадку для довільного модуля m можна вивести аналогічну формулу, користуючись теоремою про структуру мультиплікативної групи лишків .
Приклад
Оскільки , але , , , то порядок числа 2 за модулем 15 дорівнює 4.
Обчислення
Якщо відомий розклад модуля m на прості множники і відомий розклад чисел на прості множники, то показник заданого числа a може бути знайдений за поліноміальний час від . Для обчислення досить знайти розклад на множники функції Кармайкла і обчислити всі для всіх . Оскільки число дільників обмежене многочленом від , а піднесення до степеня за модулем відбувається за поліноміальний час, то алгоритм пошуку буде поліноміальним.
Застосування
Характери Діріхле
Характер Діріхле за модулем визначається обов'язковими співвідношеннями і . Щоб ці співвідношення виконувалися, необхідно, щоб дорівнював якомусь комплексному кореню із одиниці степеня .
Див. також
- Дискретний логарифм
- [en]
Посилання
- Weisstein, Eric W. Multiplicative Order(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет