Подвійна шістка Шлефлі

Подві́йна ші́стка Шле́флі — конфігурація з 30 точок і 12 прямих, яку запропонував Шлефлі. Прямі конфігурації можна розділити на дві підмножини по 6 прямих, при цьому кожна пряма не перетинається (тобто, мимобіхна) з прямими однієї множини і перетинається з кожною прямою іншої [крім себе самої]). Кожна з 12 прямих конфігурації має 5 точок перетину, і кожна з цих 30 точок перетину належить рівно двом прямим, що належать різним підмножинам, так що подвійна шістка Шлефлі позначається як 12₅30₂.

Подвійна шістка Шлефлі

Побудова

Як показав Шлефлі, подвійну шістку можна побудувати з будь-яких п'яти прямих a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, якщо вони перетинаються з шостою прямою b₆, але в іншому перебувають у загальному положенні (зокрема, кожна з двох прямих a_i і a_j мають бути мимобіжними, і ніякі з чотирьох прямих a_i не повинні лежати на спільній лінійчатій поверхні). Для кожної з п'яти прямих a_i додаткова множина з прямих має дві ^[en]: b₆ і b_i. П'ять прямих b₁, b₂, b₃, b₄ і b₅, отриманих у такий спосіб, перетинаються прямою a₆. Дванадцять прямих a_i і b_i утворюють подвійну шістку: кожна пряма a_i має перетин із п'ятьма прямими b_j, для яких i ≠ j і навпаки.

Інша побудова, показане на ілюстрації, виходить розташуванням дванадцяти прямих, що проходять через центри шести граней куба і лежать на площині цих граней, і кожна пряма утворює однаковий кут із відповідними ребрами куба.

Пов'язані об'єкти

Корона з 12 вершинами, граф перетинів прямих подвійної шістки

У загальному випадку кубічна поверхня містить 27 прямих, серед яких можна знайти 36 конфігурацій подвійних шісток Шлефлі. Множина з 15 прямих, доповняльна подвійній шістці, разом з 15 дотичними площинами, що проходять через трійки цих прямих, має структуру перетинів іншої конфігурації, конфігурації Кремони — Річмонда.

Граф перетинів дванадцяти прямих конфігурації подвійної шістки — це корона з 12 вершинами, двочастковий граф, у якому кожна вершина суміжна з п'ятьма з шести вершин іншого кольору. Граф Леві подвійної шістки можна отримати, замінивши кожне з ребер корони шляхом із двох ребер. Граф перетинів усіх 27 прямих на кубічній поверхні є доповненням графа Шлефлі.

Примітки

1. Schläfli, 1858, с. 115.

Література

• David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. — 2nd. — New York : Chelsea, 1952. — .
• Ludwig Schläfli. An attempt to determine the twenty-seven lines upon a surface of the third order, and to derive such surfaces in species, in reference to the reality of the lines upon the surface / Arthur Cayley // Quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1858. — Т. 2. — С. 55–65, 110–120.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Подвійна шістка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.