В аналітичній геометрії, перетин прямої і площини може бути порожньою множиною, точкою, або прямою. Розрізнення цих випадків, і визначення рівнянь для точки і прямої має своє застосування комп'ютерній графіці, плануванні руху, і виявленні зіткнень.
Алгебраїчна форма
У [en], площину можна задати у вигляді набору точок для яких
де — вектор нормалі, що перпендикулярний площині і є точкою на площині. (Це представлення означає скалярний добуток двох векторів і .)
Векторне рівняння прямої є наступним:
де це вектор, який вказує напрям прямої, точка на цій прямій, і це скаляр в дійсній області чисел. Підставляючи рівняння прямої в рівняння площини, отримуємо
Розкривши дужки, маємо:
І вирішуючи для
Якщо пряма і площина є паралельними. Матимемо два випадки: якщо пряма знаходиться на площині, що означає, що пряма перетинає площину в кожній точці прямої. В іншому випадку, пряма і площина не мають перетину.
Якщо існує єдина точка перетину. Значення можна розрахувати і точку перетину можна визначити наступним чином:
- .
Параметрична форма
Пряма описується всіма точками на прямій і напрямом від конкретної точки. Таким чином будь-яка довільна точка на прямій може бути задана наступним чином
де and є двома різними точками на прямій.
Таким же чином будь-яка довільна точка на площині може бути представлена як:
де , це три точки на площині, які не є колінеарними.
Точка, в якій пряма перетинає площину, таким чином описується рівнянням в якому точка на прямій дорівнює точці на площині, і задається наступним параметричним рівнянням:
Це можна записати як
що можна представити в матричній формі, як:
Точка перетину буде дорівнювати наступному:
Якщо лінія паралельна площині тоді вектори , , і будуть лінійно залежними і матриця буде виродженою. Ця ситуація також виникає, коли пряма знаходиться на площині.
Якщо рішення задовольняє умову , тоді точка перетину знаходиться на прямій між і .
Якщо рішення задовольняє
тоді точка перетину знаходиться на площині в межах трикутника, що заданий трьома точками , і .
Ця задача зазвичай вирішується у матричній формі, і за допомогою інверсії отриманої матриці:
Посилання
- Точка перетину прямої і площини // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 137. — 594 с.
- Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V analitichnij geometriyi peretin pryamoyi i ploshini mozhe buti porozhnoyu mnozhinoyu tochkoyu abo pryamoyu Rozriznennya cih vipadkiv i viznachennya rivnyan dlya tochki i pryamoyi maye svoye zastosuvannya komp yuternij grafici planuvanni ruhu i viyavlenni zitknen Tri mozhlivih vipadki peretinu pryamoyi i ploshini 1 Nema peretinu 2 Peretin v tochci 3 Peretin ye pryamoyu Algebrayichna formaU en ploshinu mozhna zadati u viglyadi naboru tochok p displaystyle mathbf p dlya yakih p p0 n 0 displaystyle mathbf p mathbf p 0 cdot mathbf n 0 de n displaystyle mathbf n vektor normali sho perpendikulyarnij ploshini i p0 displaystyle mathbf p 0 ye tochkoyu na ploshini Ce predstavlennya a b displaystyle mathbf a cdot mathbf b oznachaye skalyarnij dobutok dvoh vektoriv a displaystyle mathbf a i b displaystyle mathbf b Vektorne rivnyannya pryamoyi ye nastupnim p dl l0d R displaystyle mathbf p d mathbf l mathbf l 0 quad d in mathbb R de l displaystyle mathbf l ce vektor yakij vkazuye napryam pryamoyi l0 displaystyle mathbf l 0 tochka na cij pryamij i d displaystyle d ce skalyar v dijsnij oblasti chisel Pidstavlyayuchi rivnyannya pryamoyi v rivnyannya ploshini otrimuyemo dl l0 p0 n 0 displaystyle d mathbf l mathbf l 0 mathbf p 0 cdot mathbf n 0 Rozkrivshi duzhki mayemo dl n l0 p0 n 0 displaystyle d mathbf l cdot mathbf n mathbf l 0 mathbf p 0 cdot mathbf n 0 I virishuyuchi dlya d displaystyle d d p0 l0 nl n displaystyle d mathbf p 0 mathbf l 0 cdot mathbf n over mathbf l cdot mathbf n Yaksho l n 0 displaystyle mathbf l cdot mathbf n 0 pryama i ploshina ye paralelnimi Matimemo dva vipadki yaksho p0 l0 n 0 displaystyle mathbf p 0 mathbf l 0 cdot mathbf n 0 pryama znahoditsya na ploshini sho oznachaye sho pryama peretinaye ploshinu v kozhnij tochci pryamoyi V inshomu vipadku pryama i ploshina ne mayut peretinu Yaksho l n 0 displaystyle mathbf l cdot mathbf n neq 0 isnuye yedina tochka peretinu Znachennya d displaystyle d mozhna rozrahuvati i tochku peretinu mozhna viznachiti nastupnim chinom dl l0 displaystyle d mathbf l mathbf l 0 Parametrichna formaPeretin pryamoyi i ploshini Pryama opisuyetsya vsima tochkami na pryamij i napryamom vid konkretnoyi tochki Takim chinom bud yaka dovilna tochka na pryamij mozhe buti zadana nastupnim chinom la lb la t t R displaystyle mathbf l a mathbf l b mathbf l a t quad t in mathbb R de la xa ya za displaystyle mathbf l a x a y a z a and lb xb yb zb displaystyle mathbf l b x b y b z b ye dvoma riznimi tochkami na pryamij Takim zhe chinom bud yaka dovilna tochka na ploshini mozhe buti predstavlena yak p0 p1 p0 u p2 p0 v u v R displaystyle mathbf p 0 mathbf p 1 mathbf p 0 u mathbf p 2 mathbf p 0 v quad u v in mathbb R de pk xk yk zk displaystyle mathbf p k x k y k z k k 0 1 2 displaystyle k 0 1 2 ce tri tochki na ploshini yaki ne ye kolinearnimi Tochka v yakij pryama peretinaye ploshinu takim chinom opisuyetsya rivnyannyam v yakomu tochka na pryamij dorivnyuye tochci na ploshini i zadayetsya nastupnim parametrichnim rivnyannyam la lb la t p0 p1 p0 u p2 p0 v displaystyle mathbf l a mathbf l b mathbf l a t mathbf p 0 mathbf p 1 mathbf p 0 u mathbf p 2 mathbf p 0 v Ce mozhna zapisati yak la p0 la lb t p1 p0 u p2 p0 v displaystyle mathbf l a mathbf p 0 mathbf l a mathbf l b t mathbf p 1 mathbf p 0 u mathbf p 2 mathbf p 0 v sho mozhna predstaviti v matrichnij formi yak xa x0ya y0za z0 xa xbx1 x0x2 x0ya yby1 y0y2 y0za zbz1 z0z2 z0 tuv displaystyle begin bmatrix x a x 0 y a y 0 z a z 0 end bmatrix begin bmatrix x a x b amp x 1 x 0 amp x 2 x 0 y a y b amp y 1 y 0 amp y 2 y 0 z a z b amp z 1 z 0 amp z 2 z 0 end bmatrix begin bmatrix t u v end bmatrix Tochka peretinu bude dorivnyuvati nastupnomu la lb la t displaystyle mathbf l a mathbf l b mathbf l a t Yaksho liniya paralelna ploshini todi vektori lb la displaystyle mathbf l b mathbf l a p1 p0 displaystyle mathbf p 1 mathbf p 0 i p2 p0 displaystyle mathbf p 2 mathbf p 0 budut linijno zalezhnimi i matricya bude virodzhenoyu Cya situaciya takozh vinikaye koli pryama znahoditsya na ploshini Yaksho rishennya zadovolnyaye umovu t 0 1 displaystyle t in 0 1 todi tochka peretinu znahoditsya na pryamij mizh la displaystyle mathbf l a i lb displaystyle mathbf l b Yaksho rishennya zadovolnyaye u v 0 1 u v 1 displaystyle u v in 0 1 u v leq 1 todi tochka peretinu znahoditsya na ploshini v mezhah trikutnika sho zadanij troma tochkami p0 displaystyle mathbf p 0 p1 displaystyle mathbf p 1 i p2 displaystyle mathbf p 2 Cya zadacha zazvichaj virishuyetsya u matrichnij formi i za dopomogoyu inversiyi otrimanoyi matrici tuv xa xbx1 x0x2 x0ya yby1 y0y2 y0za zbz1 z0z2 z0 1 xa x0ya y0za z0 displaystyle begin bmatrix t u v end bmatrix begin bmatrix x a x b amp x 1 x 0 amp x 2 x 0 y a y b amp y 1 y 0 amp y 2 y 0 z a z b amp z 1 z 0 amp z 2 z 0 end bmatrix 1 begin bmatrix x a x 0 y a y 0 z a z 0 end bmatrix PosilannyaTochka peretinu pryamoyi i ploshini Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 137 594 s Intersections of Lines Segments and Planes 2D amp 3D from GeomAlgorithms com