Орбівид

Орбівиди (англ. Orbifold)— неформально кажучи, це многовид з особливостями, які виглядають як фактор евклідового простору за скінченною групою.

Один з об'єктів дослідження в алгебричній топології, алгебричній і диференціальній геометрії, теорії особливостей.

Орбівид і многовид (порівняння означень)

Орбівид означається як Гаусдорфів топологічний простір ${\displaystyle X}$ (який називають підпорядкованим простором орбівиду) і виділений набір відкритих відображень ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\subset \mathbb {R} ^{n}\to X}$ (що зветься атласом), такий, що ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(U_{\alpha })}$ є покриттям ${\displaystyle X}$.

Приклади

• Пара многовиду ${\displaystyle M}$ з дією дискретної групи дифеоморфізмів ${\displaystyle \Gamma }$ задає орбівид.
• Структуру орбівиду з двовимірною сферою ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}={\hat {\mathbb {C} }}}$ як підпорядкованим простором, можна задати двома картами ${\displaystyle f,\;g\colon \mathbb {C} \to {\hat {\mathbb {C} }}}$, ${\displaystyle f(z)=z^{m}}$ і ${\displaystyle g(z)=1/z^{n}}$ для натуральних чисел ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n}$.

Нехай ${\displaystyle M\rightarrow {\mathcal {O}}}$ 3-сасакієве розшарування із спільним шаром, дифеоморфним сфері ${\displaystyle S^{3}}$ або ${\displaystyle SO(3),}$ над кватерніонно-келеровим орбівидом ${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$ Із цим розшаруванням можна асоціювати два векторних розшарування із шарами ${\displaystyle \mathbb {H} ,\mathbb {C} ,}$ простори яких можна позначити ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1},{\mathcal {M}}_{2}}$ відповідно. Ці простори дозволяють здійснити розширення конусної особливості двома топологічно різними способами. При цьому метрика на ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1},{\mathcal {M}}_{2}}$ виглядає так:

${\displaystyle dt^{2}+\sum _{i=1}^{3}A_{i}(t)^{2}\eta _{i}^{2}+B(t)^{2}g|_{\mathcal {H}},}$

де ${\displaystyle g}$ — метрика на 3-сасакієвому многовиді ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — дотичний до ${\displaystyle M}$ розподіл горизонтальних векторів, ${\displaystyle \eta _{i}}$ — базис 1-форм, які анулюють ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Література

• Арнольд, В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. — М.: ФАЗИС, 1996. — 334 с. — .
• Каку, Мичио. Введение в теорию суперструн / пер. с англ. Г. Э. Арутюнова, А. Д. Попова, С. В. Чудова; под ред. И. Я. Арефьевой. — М. : , 1999. — 624 с. — .
• Кетов, С. В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. — Новосибирск: Наука, 1990. — 368 с. — .
• Скотт П. Геометрия на трёхмерных многообразиях. — М.: Мир, 1986.
• Dixon L., Harwey J. A., Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.

1. БАЗАЙКИН ЯРОСЛАВ ВЛАДИМИРОВИЧ - НЕКОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ И ЛОРЕНЦЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ ГРУППАМИ ГОЛОНОМИИ.