Ньютонівський потенціал

У математиці ньютонівський потенціал або потенціал Ньютона — оператор у векторному численні, який діє як обернений до від'ємного лапласіана для функцій, які є гладкими та достатньо швидко спадають на нескінченності. Як такий, він є фундаментальним об'єктом дослідження в теорії потенціалу. За загальною природою це ^[en], визначений згорткою з функцією, що має математичну сингулярність у початку координат, ядро Ньютона Γ, яке є ^[en] рівняння Лапласа.

Названо на честь Ісаака Ньютона, який першим відкрив його й довів, що це гармонічна функція в ^[en], де він служив основним гравітаційним потенціалом у законі всесвітнього тяжіння Ньютона.

У сучасній теорії потенціалу розглядається як електростатичний потенціал.

Ньютонівський потенціал інтегровної функції f із компактним носієм визначають як згортку

$${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)f(y)\,dy}$$

де ньютонівське ядро Γ в розмірності d визначають як

$${\displaystyle \Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|}&d=2\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d}&d\neq 2.\end{cases}}}$$

Тут ω_d — об'єм одиничної d-кулі (іноді позначення можуть відрізнятися; порівняйте (Evans, 1998) та (Gilbarg та Trudinger, 1983)). Наприклад, для ${\displaystyle d=3}$ маємо ${\displaystyle \Gamma (x)=-1/(4\pi |x|).}$

Ньютонівський потенціал w функції f є розв'язком рівняння Пуассона

$${\displaystyle \Delta w=f,}$$

це означає, що операція взяття ньютонівського потенціалу функції є частково оберненою до оператора Лапласа. Тоді w буде двічі диференційовним класичним розв'язком, якщо f обмежена і локально неперервна за Гельдером, як показав Отто Гельдер. Відкритим було питання, чи достатньо лише неперервності. ^[en] показав, що це не так, і навів приклад неперервної f, для якої w не диференційовний двічі. Розв'язок не єдиний, оскільки додавання будь-якої гармонічної функції до w не вплине на рівняння. Цей факт можна використати, щоб довести існування та унікальність розв'язків задачі Діріхле для рівняння Пуассона у відповідних регулярних ділянках і для відповідних функцій f: спочатку застосовують ньютонівський потенціал, щоб отримати розв'язок, а потім коригують, додаючи гармонічну функцію для отримання правильних граничних даних.

Ширше ньютонівський потенціал визначають як згортку

$${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)\,d\mu (y)}$$

де μ — міра Радона з компактним носієм. Він задовольняє рівняння Пуассона

$${\displaystyle \Delta w=\mu }$$

у сенсі розподілів. Крім того, коли міра додатна, ньютонівський потенціал є субгармонічним на R^d.

Якщо f — неперервна функція з компактним носієм (або, загалом, скінченна міра), яка є обертально інваріантною, тоді згортка f з Γ задовольняє для x поза носієм f

$${\displaystyle f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.}$$

У розмірності d = 3, це зводиться до теореми Ньютона про те, що потенціальна енергія малої маси поза набагато більшою сферично-симетрично розподіленою масою така ж, як ніби вся маса більшого об'єкта зосереджена в його центрі.

Коли міра μ асоціюється з розподілом маси на достатньо гладкій гіперповерхні S ( класу Гельдера C^1,α), яка розділяє R^d на дві ділянки D₊ і D₋, тоді ньютонівський потенціал μ називають потенціалом простого шару. Потенціали простого шару є неперервними та розв'язують рівняння Лапласа, за винятком S. Вони природно з'являються при вивченні електростатики в контексті електростатичного потенціалу, пов'язаного з розподілом заряду на закритій поверхні. Якщо dμ = f dH — добуток неперервної функції на S з (d − 1)-вимірною мірою Гаусдорфа, то в точці y в S нормальна похідна зазнає під час перетину шару стрибкового розриву f(y). Крім того, нормальна похідна від w є чітко визначеною неперервною функцією на S. Це робить прості шари особливо придатними для вивчення задачі Неймана для рівняння Лапласа.

Див. також

• Функція Гріна

Література

• (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN .
• Gilbarg, D.; (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York: Springer, ISBN .
•  Solomentsev, E.D. (2001), Newton potential, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN 
•  Solomentsev, E.D. (2001), Simple-layer potential, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN 
•  Solomentsev, E.D. (2001), Surface potential, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN