Нерв покриття

Нерв покриття — конструкція в топології, яка дає симпліційний комплекс за довільним покриттям.

Поняття нерва покриття ввів Павло Александров.

Визначення

Нехай ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — скінченне покриття топологічного простору${\displaystyle X}$. Нерв покриття ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — це абстрактний симпліційний комплекс ${\displaystyle N}$, множина вершин якого ототожнена з множиною індексів покриття, при цьому ${\displaystyle N}$ містить симплекс з вершинами${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}W_{\alpha _{i}}\not =\varnothing }$.

Варіації та узагальнення

• Граф перетинів — 1-вимірний кістяк нерва.

Властивості

• Теорема про нерв. Якщо ${\displaystyle X}$ тріангульовне і ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — скінченне покриття замкнутими множинами, причому всі непорожні перетини стягувані, то нерв покриття гомотопічно еквівалентний ${\displaystyle X}$.
  • Зокрема, звідси випливає теорема Хеллі .

Див. також

• Когомології Александрова — Чеха

Примітки

1. Paul Alexandroff Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung, — Mathematische Annalen 98 (1928), стр. 617—635.