Модулярна лямбда-функція

У математиці модулярна лямбда-функція${\displaystyle \lambda (\tau )}$ є сильно симетричною голоморфною функцією у верхній півплощині комплексної площини. Вона інваріантна відносно дробово-лінійної дії ^[en] ${\displaystyle \Gamma (2)}$ і породжує поле функцій часткового упорядкування, тобто є головною модулярною функцією для ^[en] ${\displaystyle X(2)}$.

Модулярна лямбда-функція на комплексній площині.

У будь-якій точці ${\displaystyle \tau }$ її значення можна описати як подвійне відношення точок галуження розгалуженого подвійного накриття проективної лінії за допомогою еліптичної кривої ${\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }$, де відображення визначається як відношення за інволюцією [−1].

${\displaystyle q}$-розклад, де ${\displaystyle q={\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau }}$ це ^[en], визначається наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\cdots .\end{aligned}}}$  A115977

Симетризуючи лямбда-функцію відносно канонічної дії симетричної групи ${\displaystyle \operatorname {S} _{3}}$на ${\displaystyle X(2)}$, а потім відповідним чином нормалізуючи, можна отримати функцію у верхній півплощині, яка інваріантна відносно повної модулярної групи ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, і це фактично модулярний ${\displaystyle j}$-інваріант Клейна.

A plot of x→ λ(ix)

Модулярні властивості

Функція ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ є інваріантною відносно групи, породженої перетвореннями

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau \mapsto \tau +2,\quad \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}.\end{aligned}}}$

Генератори модулярної групи діють за правилом

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau \mapsto \tau +1\colon \ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}},\\\tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\colon \ \lambda \mapsto 1-\lambda .\end{aligned}}}$

Отже, дія модулярної групи на функцію ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ є дією ^[en], що визначає шість значень подвійного відношення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\lbrace \lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\rbrace \end{aligned}}}$

Зв'язок із іншими функціями

Модулярна лямбда-функція є квадратом еліптичного модуля, тобто ${\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau )}$. У термінах ^[en] ${\displaystyle \eta }$ і тета-функції модулярну лямбда-функцію можна представити як

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (\tau )=\left({\frac {{\sqrt {2}}\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}\right)^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{4}}{\big )}}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2{\frac {\theta _{4}^{2}{\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\theta _{2}^{2}{\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}}\end{aligned}}}$

де

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau (n+1/2)^{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau n^{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau n^{2}}\end{aligned}}}$

Модулярну лямбда-функцію можна записати у термінах півперіодів еліптичних функцій Вейєрштрасса. Нехай ${\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}$ — ^[en] з ${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)\end{aligned}}}$

тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\end{aligned}}}$

Оскільки три значення півперіодів різні, то ${\displaystyle \lambda }$ не набуває значень 0 або 1.

Модулярна лямбда-функція пов'язана з ${\displaystyle j}$-інваріантом наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\end{aligned}}}$,

яка є ${\displaystyle j}$-інваріантом еліптичної кривої у ^[en] ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$.

Модулярні рівняння

Модулярне рівняння степеня ${\displaystyle p}$ (де ${\displaystyle p}$ — просте число) — алгебраїчне рівняння на функції ${\displaystyle \lambda (p\tau )}$ і ${\displaystyle \lambda (\tau )}$. Якщо ${\displaystyle \lambda (p\tau )=u^{8}}$ і ${\displaystyle \lambda (\tau )=v^{8}}$, то модулярні рівняння степенів ${\displaystyle p=2,3,5,7}$ відповідно мають вигляд

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}1+u^{4}{\big )}^{2}v^{8}-4u^{4}=0\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{4}-v^{4}+2uv{\big (}1-u^{2}v^{2}{\big )}=0\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}{\big (}u^{2}-v^{2}{\big )}+4uv{\big (}1-u^{4}v^{4}{\big )}=0\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}1-u^{8}{\big )}{\big (}1-v^{8}{\big )}-(1-uv)^{8}=0\end{aligned}}}$

Змінну ${\displaystyle v}$ (і, отже, ${\displaystyle u}$) можна розглядати як голоморфну функцію у верхній півплощині ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Оскільки ${\displaystyle \lambda ({\rm {i}})=1/2}$, то модулярні рівняння можна використовувати для отримання алгебраїчних значень для ${\displaystyle \lambda (p{\rm {i}})}$ для будь-якого простого числа ${\displaystyle p}$.

Алгебраїчні значення для ${\displaystyle \lambda (n{\rm {i}})}$ також визначаються за допомогою формул

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (n{\rm {i}})=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}},\quad {\text{якщо}}\ n\ {\text{парне}}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (n{\rm {i}})={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2},\quad {\text{якщо}}\ n\ {\text{непарне}}\end{aligned}}}$,

де ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ — лемніскатний синус і ${\displaystyle \varpi }$ — лемніскатна стала.

Лямбда-зірка

Означення та обчислення лямбда-зірки

Функція ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$ (де ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$) дає значення еліптичного модуля ${\displaystyle k}$, для якого повний еліптичний інтеграл першого роду ${\displaystyle K(k)}$ і його доповняльний аналог ${\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}}$ пов'язані таким співвідношенням:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}\end{aligned}}}$

Значення ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$ можна обчислити так:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}{\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}{\theta _{3}^{2}{\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\big [}{-}(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}{\big ]}\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\big (}{-}a^{2}\pi {\sqrt {x}}{\big )}\right]^{-2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\big [}(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}{\big ]}\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\big (}a\pi {\sqrt {x}}{\big )}\right]^{-1}\end{aligned}}}$

Функції ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ і ${\displaystyle \lambda }$ пов'язані одна з одною за допомогою співвідношення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda {\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}}\end{aligned}}}$.

Властивості лямбда-зірки

Будь-яке ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ значення додатного раціонального числа є додатним алгебраїчним числом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}\end{aligned}}}$

Як довели Селберг і Чоула в 1949 році, ${\displaystyle K(\lambda ^{*}(x))}$ і ${\displaystyle E(\lambda ^{*}(x))}$(повний еліптичний інтеграл другого роду можна представити в замкненій формі в термінах гамма-функції для будь-якого ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{+}}$.

Наступне співвідношення справедливе для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ — еліптична функція Якобі дельта амплітуди з модулем ${\displaystyle k}$.

Знаючи одне ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ значення, цю формулу можна використовувати для обчислення пов'язаних ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ значень:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}\end{aligned}}}$,

де ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ — еліптична функція Якобі синус амплітуди з модулем ${\displaystyle k}$.

Подальші співвідношення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/2}-\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/2}==2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}+2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{5/12}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{5/12}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\quad b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}{\big (}ac+a^{3}c^{3}{\big )}{\big (}1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4}{\big )}{\big (}2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\quad c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}a^{2}-d^{2}{\big )}{\big (}a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2}{\big )}{\big [}{\big (}a^{2}-d^{2}{\big )}^{4}-a^{2}d^{2}{\big (}a^{2}+d^{2}{\big )}^{2}{\big ]}=8ad+8a^{13}d^{13},\quad a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\ d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}}$

Частинні значення

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду ${\displaystyle 4n-3}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(5)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(9)={\frac {1}{2}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(13)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin {\big (}5{\sqrt {13}}-18{\big )}\right]\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(17)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(21)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}8-3{\sqrt {7}}{\big )}{\big (}2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}{\big )}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(25)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}{\big (}3-2{\sqrt[{4}]{5}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(33)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}10-3{\sqrt {11}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(37)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}{\sqrt {37}}-6{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(45)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}4-{\sqrt {15}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(49)={\frac {1}{4}}{\big (}8+3{\sqrt {7}}{\big )}{\big (}5-{\sqrt {7}}-{\sqrt[{4}]{28}}{\big )}\left({\sqrt {14}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(57)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}170-39{\sqrt {19}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(73)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду ${\displaystyle 4n-2}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(6)={\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(10)={\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(18)={\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{3}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(22)={\big (}10-3{\sqrt {11}}{\big )}{\big (}3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(30)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(34)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{9}}{\big (}{\sqrt {17}}-4{\big )}^{2}\right]\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(42)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}{\big )}^{2}{\big (}2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(46)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{64}}\left(3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(58)={\big (}13{\sqrt {58}}-99{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{6}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(70)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{4}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{6}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(78)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}5{\sqrt {13}}-18{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {26}}-5{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}{\big (}8{\sqrt {41}}-51{\big )}^{2}\right]\right\}\end{aligned}}}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду ${\displaystyle 4n-1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(3)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(7)={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}{\big (}3-{\sqrt {7}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(15)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}{\big (}3-{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(19)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})\right]^{4}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(27)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}^{3}\left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\big (}{\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1{\big )}-{\sqrt[{3}]{2}}+1\right]^{4}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(39)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{16}}\left(6-{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(55)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{512}}\left(3{\sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду ${\displaystyle 4n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(4)={\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(8)=\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(12)={\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(16)={\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\big )}^{4}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(20)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(24)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}{\big ]}\right\}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(28)={\big (}2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{4}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(32)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\end{aligned}}}$

Значення лямбда-зірки для раціональних дробів:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}+1{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {2}{3}}\right)={\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{4}}\right)=2{\sqrt[{4}]{2}}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}{\sqrt {{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}^{3}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{5}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}+{\sqrt {5}}-1\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {2}{5}}\right)={\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {3}{5}}\right)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}{\big (}3+{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}2+{\sqrt {3}}{\big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {4}{5}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]^{2}\end{aligned}}}$

Інваріанти класу Рамануджана

Інваріанти класу Рамануджана ${\displaystyle G_{n}}$ і ${\displaystyle g_{n}}$ визначаються як

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}=2^{-1/4}{\rm {e}}^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\rm {e}}^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}=2^{-1/4}{\rm {e}}^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\rm {e}}^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}}$. Для таких ${\displaystyle n}$ інваріанти класу є алгебраїчними числами.

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {{\big (}{\sqrt {5}}+2{\big )}{\big (}{\sqrt {10}}+3{\big )}}}\end{aligned}}}$

Тотожності з інваріантами класу включають

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}\end{aligned}}}$

Інваріанти класів дуже тісно пов'язані з ^[en] ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}}$