Ма триці Адама ра в математиці це ортогональні квадратні матриці елементи яких можуть приймати значення тільки 1 та 1 На

Ма́триці Адама́ра — в математиці, це ортогональні квадратні матриці, елементи яких можуть приймати значення тільки (+1) та (-1). Названі на честь французького математика Жака Адамара.

Такі матриці застосовуваться в алгоритмах корегування помилок (коди Адамара, коди Ріда-Мюллера).

Недоведена гіпотеза Адамара стверджує, що матриця Адамара порядку 4k існує для кожного натурального числа k.

Властивості

H^{\mathrm {T} }H=nI\

\ \det H=\pm \;n^{n/2}

.

Будь-які 2 довільні стовпці чи рядки мають рівно половину пар елементів, що збігаються.

Одним з способів побудови матриць Адамара великих розмірностей є рекурсивна процедура Сильвестра. Якщо H — матриця Адамара розміру n. Тоді

{\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}

є матрицею Адамара порядку 2n.

H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\quad H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\quad H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\quad ...\quad H_{2^{k+1}}={\begin{bmatrix}H_{2^{k}}&H_{2^{k}}\\H_{2^{k}}&-H_{2^{k}}\end{bmatrix}}=H_{2}\otimes H_{2^{k}},

де $\ k\in N$ , а $\otimes$ означає добуток Кронекера.

Зокрема,

{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}

.

Такі матриці мають додаткові властивості:

Такі матриці, а також матриці з переставленими рядками/стовпцями таким чином, щоб:

ще називаються матрицями Уолша.

W_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}}

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
, . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)