Лінійний конгруентний метод

Лінійний конгруентний метод — один із методів генерації псевдовипадкових чисел. Застосовується в простих випадках і не володіє криптографічною стійкістю. Входить в стандартні бібліотеки різних компіляторів.

Опис

Лінійний конгруентний метод був запропонований в 1949 році. Суть методу полягає в обчисленні послідовності випадкових чисел ${\displaystyle X_{n}}$, вважаючи

${\displaystyle X_{n+1}=(aX_{n}+c)~~{\bmod {~}}~m,}$

де ${\displaystyle m}$ — модуль (натуральне число, відносно якого обчислюють остачу від ділення; ${\displaystyle m\geqslant 2}$), ${\displaystyle a}$ — множник (${\displaystyle 0\leqslant a<m}$), ${\displaystyle c}$ — приріст (${\displaystyle 0\leqslant c<m}$), ${\displaystyle X_{0}}$ — початкове значення (${\displaystyle 0\leqslant X_{0}<m}$).

Ця послідовність називається лінійною конгруентною послідовністю. Наприклад, для ${\displaystyle m=10,X_{0}=a=c=7}$ отримаємо послідовність ${\displaystyle 7,6,9,0,7,6,9,0,\dots }$^:21—37</ref>

Властивості

Лінійна конгруентна послідовність, визначена числами ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle X_{0}}$ періодична з періодом, не більшим за ${\displaystyle m}$. При цьому довжина періоду рівна ${\displaystyle m}$ тоді і тільки тоді, коли^:21—37:

1. Числа ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle m}$ взаємно прості;
2. ${\displaystyle b=a-1}$ кратно ${\displaystyle p}$ для кожного простого ${\displaystyle p}$, що є дільником ${\displaystyle m}$;
3. ${\displaystyle b}$ кратно ${\displaystyle 4}$, якщо ${\displaystyle m}$ кратно ${\displaystyle 4}$.

Наявність цієї властивості для випадку ${\displaystyle m=2^{e}}$, де ${\displaystyle e}$ — число бітів в машинному слові, було доведено М. Грінбергом (англ. M. Greenberg). Наявність цієї властивості для загального випадку і достатність умов були доведені Т. Е. Халлом (англ. T. E. Hull) і А. Р. Добеллом (англ. A. R. Dobell).

Метод генерації лінійної конгруентної послідовності при ${\displaystyle c=0}$ називають мультиплікативним конгруентним методом, а при ${\displaystyle c\neq 0}$ — змішаним конгруентним методом. При ${\displaystyle c=0}$ згенеровані числа будуть мати менший період, ніж при ${\displaystyle c\neq 0}$, але при певних умовах можна отримати період довжиною ${\displaystyle m-1}$, якщо ${\displaystyle m}$ — просте число. Той факт, що умова ${\displaystyle c\neq 0}$ може призводити до появи більш довгих періодів, був встановлений В. Е. Томсоном (англ. W. T. Thomson) і незалежно від нього А. Ротенбергом (англ. A. Rotenberg). Щоб гарантувати максимальність циклу повторення послідовності при ${\displaystyle c=0}$, необхідно в якості значення параметра ${\displaystyle m}$ обирати просте число. Найвідомішим генератором подібного типу є так званий мінімальний стандартний генератор випадкових чисел, запропонований Стівеном Парком (англ. Stephen Park) і Кейтом Міллером (англ. Keith Miller) в 1988 році. Для нього ${\displaystyle a=16807}$, а ${\displaystyle m=2147483647}$.

Методом генерації послідовностей псевдовипадкових чисел, що найчастіше використовують є змішаний конгруентний метод.

Параметри, що часто використовуються

При виборі числа ${\displaystyle m}$ необхідно враховувати наступні умови:

1. число ${\displaystyle m}$ повинно бути достатньо великим, так як період не може мати більше ніж ${\displaystyle m}$ елементів;
2. значення числа ${\displaystyle m}$ повинно бути таким, щоб ${\displaystyle (aX_{n}+c)\mod m}$ обчислювалось швидко.

На практиці при реалізації методу виходячи з вказаних умов частіше всього обирають ${\displaystyle m=2^{e}}$, де ${\displaystyle e}$ — число бітів в машинному слові. При цьому варто враховувати, що молодші двійкові розряди згенерованих таким чином випадкових чисел демонструють поведінку, далеку від випадкової, тому рекомендується використовувати лише старші розряди. Подібна ситуація не виникає, коли ${\displaystyle m=w\pm 1}$, де ${\displaystyle w}$ — довжина машинного слова. В такому випадку молодші розряди ${\displaystyle X_{n}}$ поводять себе так же випадково, як і старші. Вибір множника ${\displaystyle a}$ і приросту ${\displaystyle c}$ зазвичай обумовлений необхідністю виконання умови досягнення періоду максимальної довжини.

Таблиця хороших констант для лінійних конгруентних генераторів

Всі наведені константи забезпечують роботу генератора з максимальним періодом. Таблиця упорядкована по максимальному добутку, яке не викликає переповнення в слові заданої довжини.

Переповнюється при	a	c	m
2^20	106	1283	6075
2^21	211	1663	7875
2^22	421	1663	7875
2^23	430	2531	11979
2^23	936	1399	6655
2^23	1366	1283	6075
2^24	171	11213	53125
2^24	859	2531	11979
2^24	419	6173	29282
2^24	967	3041	14406
2^25	141	28411	134456
2^25	625	6571	31104
2^25	1541	2957	14000
2^25	1741	2731	12960
2^25	1291	4621	21870
2^25	205	29573	139968
2^26	421	17117	81000
2^26	1255	6173	29282
2^26	281	28411	134456
2^27	1093	18257	86436
2^27	421	54773	259200
2^27	1021	24631	116640
2^28	1277	24749	117128
2^28	2041	25673	121500
2^29	2311	25367	120050
2^29	1597	51749	244944
2^29	2661	36979	175000
2^29	4081	25673	121500
2^29	3661	30809	145800
2^30	3877	29573	139968
2^30	3613	45289	214326
2^30	1366	150889	714025
2^31	8121	28411	134456
2^31	4561	51349	243000
2^31	7141	54773	259200
2^32	9301	49297	233280
2^32	4096	150889	714025
2^33	2416	374441	1771875
2^34	17221	107839	510300
2^34	36261	66037	312500
2^35	84589	45989	217728

Відомий «невдалий» (с точки зору якості вихідної послідовності) алгоритм , що протягом багатьох десятиліть використовували в різних компіляторах.

Для покращення статистичних властивостей числової послідовності в багатьох генераторах псевдовипадкових чисел використовується лише частина бітів результату. Наприклад, в стандарті ISO/IEC 9899 на мові Сі приведений (але не вказаний в якості обов'язкового) приклад функції rand(), що примусово відкидає молодші 16 і один старший розряд.

#define RAND_MAX 32767  static unsigned long int next = 1; int rand(void) {  next = next * 1103515245 + 12345;  return (unsigned int)(next/65536) % (RAND_MAX + 1); } void srand(unsigned int seed) {  next = seed; } 

Саме в такому вигляді функція rand() використовується в компіляторах . Відомі числові параметри інших алгоритмів, що застосовуються в різних компіляторах і бібліотеках.

Source	m	множник a	доданок c	використані біти
Numerical Recipes	2^32	1664525	1013904223
Borland C/C++	2^32	22695477	1	bits 30..16 in rand(), 30..0 in lrand()
glibc (used by GCC)	2^31	1103515245	12345	bits 30..0
ANSI C: , Digital Mars, , IBM VisualAge C/C++	2^31	1103515245	12345	bits 30..16
C99, C11: Suggestion in the ISO/IEC 9899	2^32	1103515245	12345	bits 30..16
Borland Delphi,	2^32	134775813	1	bits 63..32 of (seed * L)
	2^32	214013 (343FD16)	2531011 (269EC316)	bits 30..16
Microsoft Visual Basic (6 and earlier)	2^24	1140671485 (43FD43FD16)	12820163 (C39EC316)
RtlUniform from	2^31 − 1	2147483629 (7FFFFFED16)	2147483587 (7FFFFFC316)
, 's minstd_rand0	2^31 − 1	16807	0	see
's minstd_rand	2^31 − 1	48271	0	see
MMIX by	2^64	6364136223846793005	1442695040888963407
	2^64	6364136223846793005	1	bits 63...32
VAX's MTH$RANDOM, old versions of glibc	2^32	69069	1
Java	2^48	25214903917	11	bits 47...16
Раніше в багатьох компіляторах:
	2^31	65539	0

Можливість використання в криптографії

Хоча лінійний конгруентний метод породжує статистично хорошу псевдовипадкову послідовність чисел, він не є криптографічно стійким. Генератори на основі лінійного конгруентного методу передбачувані, тому їх не можна використовувати в криптографії. Вперше генератори на основі лінійного конгруентного методу були зламані Джимом Рідсом (Jim Reeds), а потім Джоан Бояр (Joan Boyar). Їй вдалося також виявити недоліки квадратичних і кубічних генераторів. Інші дослідники розширили ідеї Бояр, розробивши способи виявлення недоліків будь-якого поліноміального генератора. Таким чином, було доведено, що генератори на основі конгруентних методів не підходять для використання в криптографії. Однак генератори на основі лінійного конгруентного методу зберігають свою корисність для некриптографічних додатків, наприклад, для моделювання. Вони ефективні і в найбільш використовуваних емпіричних тестах демонструють хороші статистичні характеристики.

Див. також

• Генератор псевдовипадкових чисел

Джерела

1. D. H. Lehmer, Mathematical methods in large-scale computing units, Proceedings of a Second Symposium on Large-Scale Digital Calculating Machinery, 1949, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1951, pp. 141—146. MR 0044899 (13,495f)[1] [ 24 грудня 2013 у Wayback Machine.]
2. Дональд Кнут. Искусство программирования = The Art of Computer Programming. — 3-е изд. — Москва : Вільямс, 2000. — Т. 2. Получисленные алгоритмы. — 832 с. — 7000 прим. — (рус.) (англ.).
3. M. Greenberger, Method in randomness, Comm. ACM 8 (1965), 177—179.[2] [ 24 грудня 2013 у Wayback Machine.]
4. T.E. Hull and A.R. Dobell «Random Number Generators»,SIAM Review 4-3(1962),230-254 [3] [ 24 грудня 2013 у Wayback Machine.]
5. Бакнелл Д.М. Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi. Библиотека программиста. — Delphi Informant Magazine, 2002.
6. Stephen K. Park; Keith W. Miller (1988). (PDF). Communications of the ACM (англ.). 31 (10): 1192—1201. Архів оригіналу (PDF) за 20 березня 2018. Процитовано 26 грудня 2017.
7. Брюс Шнайєр. Прикладная криптография. — Триумф, 2002. — С. 275. з джерела 28 лютого 2014
8. Numerical recipies in C. The art of scientific computing (вид. 2-nd edition). Cambridge University Press. 1992.
9. The GNU C library's rand() in uses a simple (single state) linear congruential generator only in case that the state is declared as 8 bytes. If the state is larger (an array), the generator becomes an additive feedback generator and the period increases. See the simplified code [ 2 лютого 2015 у Wayback Machine.] that reproduces the random sequence from this library.
10. . Архів оригіналу за 5 червня 2013. Процитовано 16 червня 2012.
11. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 29 березня 2018. Процитовано 21 грудня 2014.
12. . Microsoft Support. Microsoft. Архів оригіналу за 17 квітня 2011. Процитовано 17 червня 2011.
13. In spite of documentation on MSDN [ 8 березня 2016 у Wayback Machine.], RtlUniform uses LCG, and not Lehmer's algorithm, implementations before Windows Vista are flawed, because the result of multiplication is cut to 32 bits, before modulo is applied
14. . ISO. 2 September 2011. Архів оригіналу за 29 січня 2013. Процитовано 3 September 2011.
15. . Архів оригіналу за 11 грудня 2014. Процитовано 26 грудня 2017.

Посилання

• Л. Бараш. . — Безопасность информационных технологий, 2005. — № 2. — С. 27-38.