Azərbaycanca AzərbaycancaDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisItaliana ItalianaҚазақ ҚазақLietuvos LietuvosРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Логіка предикатів це розділ класичної символічної логіки що вивчає суб єктно предикатну структуру висловлювань на підста

Логіка предикатів

Логіка предикатів — це розділ класичної символічної логіки, що вивчає суб'єктно-предикатну структуру висловлювань, на підставі чого визначають значення істинності висловлювань; по-іншому — це дедуктивна теорія, яка моделює процес виведення одних висловлювань із інших, враховуючи їх структуру. Логіку предикатів трактують як розширення (логіки висловлювань) через виявлення внутрішньої структури висловлювань і введення нових термінів та системи аксіом.

Особливості логіки предикатів

Логіка предикатів як система створюється відповідно до загальних принципів побудови формальних систем. Особливість логіки предикатів полягає в тому, що вона є складнішою і за семантикою, і за синтаксисом порівняно з логікою висловлювань. Розрізняють семантику та синтаксис логіки предикатів.

У семантичному аспекті визначають суб'єктно-предикатну структуру висловлювань на змістовному рівні. Це дає змогу виявити властивості, притаманні певній сукупності емпіричних або абстрактних об'єктів, і ввести терміни, котрі відокремлюють сферу дії предикатів: висловлювання, властивість, відношення, предикат, одномісний предикат, багатомісний предикат, квантор загальності, квантор існування, істинне значення висловлення.

Висловлення, в якому емпіричному чи абстрактному об'єктові приписують певну властивість Р або визначаються відношення між об'єктами, надають два значення істинності: «істина» (і); «хиба» (х). Відповідно, логіка предикатів — двозначна за кількістю значень істинності висловлювань.

У синтаксичному аспекті суб'єктно-предикатну структуру висловлювань визначають у процесі абстрагування від їх змісту та формалізують засобами штучно створеної мови, на підставі чого здійснюють логічні операції над символами, що зображають ці відношення (числення предикатів).

Структура логіки предикатів — алфавіт, правила побудови формул із символів алфавіту, правила дедуктивного виведення з аксіом нових формул (доведення теорем), правила інтерпретації.

Мова логіки предикатів — це система символів, що створюють алфавіт. До нього належать символи, введені в логіці висловлювань, і нові символи, які позначають терміни, введені в логіці предикатів.

Алфавіт

  • маленькі латинські літери можливо з індексами або без них, які називаються предикатними змінними або термами;
  • великі латинські літери з індексами знизу або без них, які називаються висловлюваними змінними;
  • image, image предикатні змінні;
  • символи логічних операцій ¬, ∧, ∨, →;
  • символи кванторів ∃, ∀;
  • технічні символи: ( — ліва дужка;) — права дужка.

(Терм) — будь-яка предметна константа чи предметна змінна.

Термін предикат

Предикат (n-місний, або n-арний) — це функція з областю значень {0,1} (або «Істина» та «Хиба»), певна на n-й декартовій ступені множини M. Таким чином, кожну n-ку елементів M він характеризує або як «справжню», або як «неправдиву».

Під n-місним предикатом image будемо розуміти деяку логічну функцію n змінних image, що визначена на множині Ω і приймає значення істина або хиба.

Область визначення предиката — множина Ω на якій визначений предикат.

Кванторні операції

Квантор загальності позначає висловлювання, в якому властивість Р приписують певному непорожньому класу загалом, що означає: для всіх елементів класу А притаманна властивість Р. Цей квантор має вираз «для всіх» («усі», «кожний», «будь-який», «який би не був»). Його позначають символом ∀ , а повна формула — ∀xP(x) (чит. кожному х притаманна властивість Р). Так, висловлювання "Для всіх індивідів класу людей притаманна властивість «бути смертними» "(«Усі люди смертні») зображають формулою ∀x Р(х).

Квантор існування позначає висловлювання про певний непорожній клас, в якому властивість Р притаманна лише декотрим елементам цього класу, тобто існують елементи класу А, яким притаманна властивість Р.

Квантор існування має вираз «існує» («деякі», «лише один»). Його позначають символом ∃, а повна формула — ∃хР(х) (чит. «існує» х, яке має властивість Р). Наприклад, висловлювання «Існують люди, котрим притаманна властивість писати вірші» («Декотрі люди пишуть вірші») зображають формулою ∃х Р(х).

Квантори загальності й існування взаємозалежні, тому всі логічні операції здійснюють з визначенням логічних відношень над ними.

Побудова формул логіки предикатів

  1. Окремо взятий предикат називається елементарною формулою.
  2. Якщо F і Q — формули логіки предикатів, то ¬ F, (F ∧ Q), (F ∨ Q), (F → Q) — формули.
  3. Р(х) — формула, що виражає властивість (одномісний предикат).
  4. R(x, у) — формула, яка виражає двомісний предикат.
  5. R(x, у, z) — формула, що виражає тримісний предикат.
  6. Якщо Р — формула і х — предметна змінна, то ∀x Р(х) і ∃x Р(х) є формулами.

Область дії квантора

Область дії квантора означає вираз, до якого належить квантор. ОДК обмежують дужками зліва і справа від виразу. Ліва дужка означає початок сфери дії, а права дужка — закінчення. У межах ОДК виокремлюють зв'язану та вільну змінні. Змінну, що слідує безпосередньо після квантора, називають підкванторною змінною, а формула, до якої належить квантор, — підкванторною формулою, або сферою дії квантора. Зв'язана змінна — змінна, яка входить до сфери дії кванторів загальності ∀ чи існування ∃ або обох відразу. Наприклад, у формулах ∀x P(x), ∃х Р(х) зв'язаною змінною є х.

Вільна змінна входить до певної формули, але не входить до сфери дії кванторів загальності ∀ чи існування ∃ на відміну від зв'язаної змінної. Так, у формулі ∀(P(x)) → Q(x) — змінна х зв'язана так само, як у формулі ∀x(P(x)), але вільна у виразі Q(x).

У логіці предикатів квантор загальності трактують як узагальнення кон'юнкції, а квантор існування — як узагальнення диз'юнкції, якщо множинність М значень змінної х є скінченною, тобто вона складається зі скінченної кількості предметів. Наприклад, image записують:

  1. як кон'юнкцію одиничних висловлювань, що означає: формула виду image еквівалентна формулі image;
  2. як диз'юнкцію одиничних висловлювань, що означає: формула виду image еквівалентна формулі image.

Квантифікація (лат. quantum — скільки; facio — роблю) — визначення обсягу суб'єкта та предиката в структурі висловлювання за допомогою кванторних термінів — «усі» («будь-який», «кожний») та «деякі»; логічна операція, за допомогою якої визначають сферу дії кванторів. Це перехід від формули виду Р(х) до формули виду ∃x(P(x)) або ∀х(Р(х)), унаслідок чого змінна х у формулі Р(х) перестає бути просто символом, а виражає певну властивість, притаманну класові А. Змінну х у формулі Р(х) називають вільною змінною, а після квантифікації — зв'язаною змінною, тобто у формулах ∃x(P(x)) і ∀х(Р(х)) змінна х стає зв'язаною. Квантифікація висловлювань набувають такого вигляду: Р(х, у) — двомісний предикат, визначений на множинності М. Квантор загальності та квантор існування можна використати і для змінної х і для змінної у. Змінна, до якої використано квантор, стає зв'язаною, а друга змінна — вільною.

За допомогою квантифікації (використання квантора для однієї зі змінних) двомісний предикат можна перетворити на одномісний, а тримісний — в двомісний. Значення істинності висловлювань з кванторами загальності й існування. Логіка предикатів є двозначною за кількістю значень істинності, тому висловлюванням із кванторами загальності й існування надають два значення істинності — «і», «х». Для визначення істинності висловлювання з кванторами загальності або існування задають множину М з певною кількістю елементів, для якої предикат є істинним. Значення істинності визначають за допомогою таблиці істинності.

Рівносильні формули логіки предикатів

Після квантифікації, тобто використання квантора загальності або існування до вільної змінної одномісного або n-місного предиката, можна отримати різні формули. Наприклад: ∀х∀yP(x, у); ∀у∀xP(x, у); ∃х∀yP(x, у); ∀х∃хР(х, у); ∃х∃yP(x, у).

Основні рівносильні формули логіки предикатів

image

Див. також

Література

  • Логічні числення // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — .
  • Hurley, Patrick J. (2011 р.). A Concise Introduction to Logic (вид. 11). Wadsworth Publishing. ISBN .

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Дата публікації:
Logika predikativ ce rozdil klasichnoyi simvolichnoyi logiki sho vivchaye sub yektno predikatnu strukturu vislovlyuvan na pidstavi chogo viznachayut znachennya istinnosti vislovlyuvan po inshomu ce deduktivna teoriya yaka modelyuye proces vivedennya odnih vislovlyuvan iz inshih vrahovuyuchi yih strukturu Logiku predikativ traktuyut yak rozshirennya logiki vislovlyuvan cherez viyavlennya vnutrishnoyi strukturi vislovlyuvan i vvedennya novih terminiv ta sistemi aksiom Osoblivosti logiki predikativLogika predikativ yak sistema stvoryuyetsya vidpovidno do zagalnih principiv pobudovi formalnih sistem Osoblivist logiki predikativ polyagaye v tomu sho vona ye skladnishoyu i za semantikoyu i za sintaksisom porivnyano z logikoyu vislovlyuvan Rozriznyayut semantiku ta sintaksis logiki predikativ U semantichnomu aspekti viznachayut sub yektno predikatnu strukturu vislovlyuvan na zmistovnomu rivni Ce daye zmogu viyaviti vlastivosti pritamanni pevnij sukupnosti empirichnih abo abstraktnih ob yektiv i vvesti termini kotri vidokremlyuyut sferu diyi predikativ vislovlyuvannya vlastivist vidnoshennya predikat odnomisnij predikat bagatomisnij predikat kvantor zagalnosti kvantor isnuvannya istinne znachennya vislovlennya Vislovlennya v yakomu empirichnomu chi abstraktnomu ob yektovi pripisuyut pevnu vlastivist R abo viznachayutsya vidnoshennya mizh ob yektami nadayut dva znachennya istinnosti istina i hiba h Vidpovidno logika predikativ dvoznachna za kilkistyu znachen istinnosti vislovlyuvan U sintaksichnomu aspekti sub yektno predikatnu strukturu vislovlyuvan viznachayut u procesi abstraguvannya vid yih zmistu ta formalizuyut zasobami shtuchno stvorenoyi movi na pidstavi chogo zdijsnyuyut logichni operaciyi nad simvolami sho zobrazhayut ci vidnoshennya chislennya predikativ Struktura logiki predikativ alfavit pravila pobudovi formul iz simvoliv alfavitu pravila deduktivnogo vivedennya z aksiom novih formul dovedennya teorem pravila interpretaciyi Mova logiki predikativ ce sistema simvoliv sho stvoryuyut alfavit Do nogo nalezhat simvoli vvedeni v logici vislovlyuvan i novi simvoli yaki poznachayut termini vvedeni v logici predikativ Alfavitmalenki latinski literi mozhlivo z indeksami abo bez nih yaki nazivayutsya predikatnimi zminnimi abo termami veliki latinski literi z indeksami znizu abo bez nih yaki nazivayutsya vislovlyuvanimi zminnimi P n x 1 x n displaystyle P n x 1 x n Q x 1 x n displaystyle Q x 1 x n predikatni zminni simvoli logichnih operacij simvoli kvantoriv tehnichni simvoli liva duzhka prava duzhka Term bud yaka predmetna konstanta chi predmetna zminna Termin predikatPredikat n misnij abo n arnij ce funkciya z oblastyu znachen 0 1 abo Istina ta Hiba pevna na n j dekartovij stupeni mnozhini M Takim chinom kozhnu n ku elementiv M vin harakterizuye abo yak spravzhnyu abo yak nepravdivu Pid n misnim predikatom P x 1 x n displaystyle P x 1 x n budemo rozumiti deyaku logichnu funkciyu n zminnih x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 x n sho viznachena na mnozhini W i prijmaye znachennya istina abo hiba Oblast viznachennya predikata mnozhina W na yakij viznachenij predikat Kvantorni operaciyiKvantor zagalnosti poznachaye vislovlyuvannya v yakomu vlastivist R pripisuyut pevnomu neporozhnomu klasu zagalom sho oznachaye dlya vsih elementiv klasu A pritamanna vlastivist R Cej kvantor maye viraz dlya vsih usi kozhnij bud yakij yakij bi ne buv Jogo poznachayut simvolom a povna formula xP x chit kozhnomu h pritamanna vlastivist R Tak vislovlyuvannya Dlya vsih individiv klasu lyudej pritamanna vlastivist buti smertnimi Usi lyudi smertni zobrazhayut formuloyu x R h Kvantor isnuvannya poznachaye vislovlyuvannya pro pevnij neporozhnij klas v yakomu vlastivist R pritamanna lishe dekotrim elementam cogo klasu tobto isnuyut elementi klasu A yakim pritamanna vlastivist R Kvantor isnuvannya maye viraz isnuye deyaki lishe odin Jogo poznachayut simvolom a povna formula hR h chit isnuye h yake maye vlastivist R Napriklad vislovlyuvannya Isnuyut lyudi kotrim pritamanna vlastivist pisati virshi Dekotri lyudi pishut virshi zobrazhayut formuloyu h R h Kvantori zagalnosti j isnuvannya vzayemozalezhni tomu vsi logichni operaciyi zdijsnyuyut z viznachennyam logichnih vidnoshen nad nimi Pobudova formul logiki predikativOkremo vzyatij predikat nazivayetsya elementarnoyu formuloyu Yaksho F i Q formuli logiki predikativ to F F Q F Q F Q formuli R h formula sho virazhaye vlastivist odnomisnij predikat R x u formula yaka virazhaye dvomisnij predikat R x u z formula sho virazhaye trimisnij predikat Yaksho R formula i h predmetna zminna to x R h i x R h ye formulami Oblast diyi kvantoraOblast diyi kvantora oznachaye viraz do yakogo nalezhit kvantor ODK obmezhuyut duzhkami zliva i sprava vid virazu Liva duzhka oznachaye pochatok sferi diyi a prava duzhka zakinchennya U mezhah ODK viokremlyuyut zv yazanu ta vilnu zminni Zminnu sho sliduye bezposeredno pislya kvantora nazivayut pidkvantornoyu zminnoyu a formula do yakoyi nalezhit kvantor pidkvantornoyu formuloyu abo sferoyu diyi kvantora Zv yazana zminna zminna yaka vhodit do sferi diyi kvantoriv zagalnosti chi isnuvannya abo oboh vidrazu Napriklad u formulah x P x h R h zv yazanoyu zminnoyu ye h Vilna zminna vhodit do pevnoyi formuli ale ne vhodit do sferi diyi kvantoriv zagalnosti chi isnuvannya na vidminu vid zv yazanoyi zminnoyi Tak u formuli P x Q x zminna h zv yazana tak samo yak u formuli x P x ale vilna u virazi Q x U logici predikativ kvantor zagalnosti traktuyut yak uzagalnennya kon yunkciyi a kvantor isnuvannya yak uzagalnennya diz yunkciyi yaksho mnozhinnist M znachen zminnoyi h ye skinchennoyu tobto vona skladayetsya zi skinchennoyi kilkosti predmetiv Napriklad M x 1 x 2 x 3 x 4 displaystyle M x 1 x 2 x 3 x 4 zapisuyut yak kon yunkciyu odinichnih vislovlyuvan sho oznachaye formula vidu x P x displaystyle forall x P x ekvivalentna formuli P x 1 P x 2 P x 3 P x 4 displaystyle P x 1 land P x 2 land P x 3 land P x 4 yak diz yunkciyu odinichnih vislovlyuvan sho oznachaye formula vidu x P x displaystyle exists x P x ekvivalentna formuli P x 1 P x 2 P x 3 P x 4 displaystyle P x 1 lor P x 2 lor P x 3 lor P x 4 Kvantifikaciya lat quantum skilki facio roblyu viznachennya obsyagu sub yekta ta predikata v strukturi vislovlyuvannya za dopomogoyu kvantornih terminiv usi bud yakij kozhnij ta deyaki logichna operaciya za dopomogoyu yakoyi viznachayut sferu diyi kvantoriv Ce perehid vid formuli vidu R h do formuli vidu x P x abo h R h unaslidok chogo zminna h u formuli R h perestaye buti prosto simvolom a virazhaye pevnu vlastivist pritamannu klasovi A Zminnu h u formuli R h nazivayut vilnoyu zminnoyu a pislya kvantifikaciyi zv yazanoyu zminnoyu tobto u formulah x P x i h R h zminna h staye zv yazanoyu Kvantifikaciya vislovlyuvan nabuvayut takogo viglyadu R h u dvomisnij predikat viznachenij na mnozhinnosti M Kvantor zagalnosti ta kvantor isnuvannya mozhna vikoristati i dlya zminnoyi h i dlya zminnoyi u Zminna do yakoyi vikoristano kvantor staye zv yazanoyu a druga zminna vilnoyu Za dopomogoyu kvantifikaciyi vikoristannya kvantora dlya odniyeyi zi zminnih dvomisnij predikat mozhna peretvoriti na odnomisnij a trimisnij v dvomisnij Znachennya istinnosti vislovlyuvan z kvantorami zagalnosti j isnuvannya Logika predikativ ye dvoznachnoyu za kilkistyu znachen istinnosti tomu vislovlyuvannyam iz kvantorami zagalnosti j isnuvannya nadayut dva znachennya istinnosti i h Dlya viznachennya istinnosti vislovlyuvannya z kvantorami zagalnosti abo isnuvannya zadayut mnozhinu M z pevnoyu kilkistyu elementiv dlya yakoyi predikat ye istinnim Znachennya istinnosti viznachayut za dopomogoyu tablici istinnosti Rivnosilni formuli logiki predikativPislya kvantifikaciyi tobto vikoristannya kvantora zagalnosti abo isnuvannya do vilnoyi zminnoyi odnomisnogo abo n misnogo predikata mozhna otrimati rizni formuli Napriklad h yP x u u xP x u h yP x u h hR h u h yP x u Osnovni rivnosilni formuli logiki predikativDiv takozhLogika pershogo poryadku Metodi predstavlennya znanLiteraturaLogichni chislennya Filosofskij enciklopedichnij slovnik V I Shinkaruk gol redkol ta in Kiyiv Institut filosofiyi imeni Grigoriya Skovorodi NAN Ukrayini Abris 2002 742 s 1000 ekz BBK 87ya2 ISBN 966 531 128 X Hurley Patrick J 2011 r A Concise Introduction to Logic vid 11 Wadsworth Publishing ISBN 978 0840034175 DzherelaLogika Karamisheva N V 16 grudnya 2013 u Wayback Machine
Топ