Логарифмічно угнута функція

В опуклому аналізі, невід'ємна функція f : Rⁿ → R₊ є логарифмічно угнутою (або лог-угнутою) якщо її область визначення є опуклою множиною, і якщо вона задовольняє нерівність

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

для всіх x,y ∈ dom f і 0 < θ < 1. Якщо f — строго додатна, це те саме, що сказати, що логарифм функції, log ∘ f, є угнутим; тобто,

${\displaystyle \log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)}$

для всіх x,y ∈ dom f і 0 < θ < 1.

Прикладом лог-угнутих функцій є 0-1 індикаторні функції опуклих множин і функція Гауса.

Подібно, функція є лог-опуклою якщо вона задовольняє зворотній нерівності

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

для всіх x,y ∈ dom f і 0 < θ < 1.

Властивості

• Лог-угнута функція, також є квазіугнутою. Це випливає з того факту, що логарифм є монотонною функцією, це означає, що його надрівневі множини (англ. superlevel set) ${\displaystyle S_{\alpha }=\{x\in {\mbox{dom}}f|f(x)\geq \alpha \}}$ є опуклими.
• Кожна угнута функція, яка є невід'мною на її області визначення є лог-угнутою. Однак, зворотнє твердження не завжди виконується. Прикладом може служити функція Гауса f(x) = exp(−x²/2), яка є лог-угнутою, оскільки log f(x) = −x²/2 є угнутою функцією від x. Але f не є угнутою оскільки друга похідна є додатною для |x| > 1:

${\displaystyle f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0}$

• З двох попередніх пунктів, угнутість ${\displaystyle \Rightarrow }$ лог-угнутість ${\displaystyle \Rightarrow }$ квазіугнутість.
• Двічі диференційовна, невід'ємна функція з опуклою областю визначення є лог-угнутою тоді і тільки тоді, коли для всіх x, що задовольняють f(x) > 0,

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$,

тобто

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$ є

від'ємно визначеною. Для функції однією змінної, ця умова спрощується до

${\displaystyle f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}}$

Операції, що зберігають лог-угнутість

• Добуток лог-угнутих функцій також є лог-угнутою функцією. І справді, якщо f і g є лог-угнутими функціями, тоді log f і log g є угнутими за визначенням. Отже,

${\displaystyle \log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))}$

є угнутою, і звідси f g є лог-угнутою.

• Відособлені розподіли: якщо f(x,y) : R^n+m → R є лог-угнутою, тоді

${\displaystyle g(x)=\int f(x,y)dy}$

є лог-угнутою.

• З цього випливає, що згортка зберігає лог-угнутість, оскільки h(x,y) = f(x-y) g(y) є лог-угнутою якщо f і g — лог-угнутими, і тому

${\displaystyle (f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy}$

є лог-угнутою.

Примітки

1. Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization [ 28 лютого 2008 у Wayback Machine.] (PDF) Section 3.5