Лема Рабіновича

Лема Рабіновича — лема в комутативній алгебрі, що доводить еквівалентність загальної теореми Гільберта про нулі і деякого її часткового випадку (що іноді називається слабкою теоремою Гільберта про нулі).

Твердження

Нехай ${\displaystyle K}$ — алгебраїчно замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ — кільце многочленів від змінних ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ з коефіцієнтами з поля ${\displaystyle K}$ і нехай ${\displaystyle I}$ — ідеал в тому кільці. Позначимо ${\displaystyle V(I)}$ — афінний многовид, що визначається цим ідеалом, а ${\displaystyle I(X)}$ — ідеал многочленів, що рівні нулю на многовиді X. З теореми Гільберта про нулі випливає, що для кожного власного ідеалу кільця ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$, множина ${\displaystyle V(I)}$ є непорожньою. Це твердження називається слабкою теоремою Гільберта про нулі. Лема Рабіновича стверджує, що насправді слабка теорема є еквівалентною загальній.

Доведення

Нехай ${\displaystyle F\in I(V(I)).}$ Розглянемо ідеал ${\displaystyle J\subseteq K[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]}$, породжений всіма многочленами з I і ще многочленом ${\displaystyle x_{n+1}F-1\,}$. Очевидно, ${\displaystyle V(J)=0}$. Отже, ${\displaystyle 1\in J}$, тобто ${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{m}H_{i}F_{i}+H_{m+1}(x_{n+1}F-1)}$ для деяких многочленів ${\displaystyle H_{i}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]}$ і деяких многочленів ${\displaystyle F_{i}\in I}$. Рівність є формальною рівністю многочленів, отже, ми можемо замінити в ній змінні x на будь-які значення, взяті з довільної К-алгебри .Замінивши x_n+1 на 1/F , ми одержимо: ${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{m}H_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},1/F)F_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ Помноживши ці рівності на спільний знаменник, який дорівнює F^k для деякого цілого k ми одержимо, що ${\displaystyle F^{k}=\sum _{i=1}^{m}G_{i}F_{i}\in I}$ , де Gⁱ позначає ${\displaystyle F^{k}H_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},1/F)}$.

Примітки

1. J.L. Rabinowitsch, "Zum Hilbertschen Nullstellensatz" Math. Ann. , 102 (1929)

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
• Brownawell, W. Dale (2001), "Rabinowitsch trick [ 14 квітня 2009 у Wayback Machine.]", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer,