Лема Брезіса–Лієба

У математичному аналізі лема Брезіса — Ліба є основним результатом в теорії міри. Вона названа на честь ^[en] та Елліота Ліба, які довели її в 1983 році. Лему можна розглядати за певних умов як покращення леми Фату до рівності. Вона була корисна при дослідженні багатьох варіаційних проблем.

Лема та її доведення

Твердження леми

Нехай ${\displaystyle (X,\mu )}$ — простір із мірою, а ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ — послідовність вимірних комплекснозначних функцій на ${\displaystyle X}$, які майже скрізь збігаються до функції ${\displaystyle f}$. Гранична функція ${\displaystyle f}$ — вимірна автоматично. Лема Брезіса — Ліба стверджує, що якщо ${\displaystyle p}$ — додатне число, то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\left||f|^{p}-|f_{n}|^{p}+|f-f_{n}|^{p}\right|\operatorname {d} \mu =0,}$

за умови, що послідовність ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ є рівномірно обмеженою у просторі ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$. Суттєвим наслідком, який посилює лему Фату у застосуванні до послідовності ${\displaystyle |f_{n}|^{p}}$, є рівність

${\displaystyle \int _{X}|f|^{p}\operatorname {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\left(\int _{X}|f_{n}|^{p}\operatorname {d} \mu -\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\operatorname {d} \mu \right),}$

що випливає з нерівності трикутника. Цей наслідок часто приймають як твердження леми, хоча він не має більш прямого доведення.

Доведення

Доведення базується на нерівностях

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{n}\equiv \left||f_{n}|^{p}-|f|^{p}-|f-f_{n}|^{p}\right|&\leq \left||f_{n}|^{p}-|f-f_{n}|^{p}\right|+|f|^{p}\\&\leq \varepsilon |f-f_{n}|^{p}+C_{\varepsilon }|f|^{p}.\end{aligned}}}$

Наслідком є те, що ${\displaystyle W_{n}-\varepsilon |f-f_{n}|^{p}}$, яке майже скрізь збігається до нуля, обмежується зверху інтегровною функцією, незалежно від ${\displaystyle n}$. Спостерігаємо, що

${\displaystyle W_{n}\leq \max \left(0,W_{n}-\varepsilon |f-f_{n}|^{p}\right)+\varepsilon |f-f_{n}|^{p},}$

а застосування теореми Лебега про мажоровану збіжність до першого члена з правої частини показує, що

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{X}W_{n}\operatorname {d} \mu \leq \varepsilon \sup _{n}\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\operatorname {d} \mu .}$

Обмеженість супремуму в правій частині при довільному ${\displaystyle \varepsilon }$ показує, що ліва частина повинна бути нульовою.

Див. також

• Теорія міри
• Простір із мірою
• Лема Фату
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність
• Варіаційне числення

Примітки

1. Lions 1985.
2. Brézis & Lieb 1983, Theorem 2; Bogachev 2007, Proposition 4.7.30; Lieb & Loss 2001, Theorem 1.9.
3. Brézis & Lieb 1983, Theorem 1; Evans 1990, Theorem 1.8; Willem 1996, Lemma 1.32.

Джерела

• V.I. Bogachev. Measure theory. Vol. I. Springer-Verlag, Berlin, 2007. xviii+500 pp.
• Haïm Brézis and Elliott Lieb. A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals. Proc. Amer. Math. Soc. 88 (1983), no. 3, 486—490. DOI:10.1090/S0002-9939-1983-0699419-3
• Lawrence C. Evans. Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 74. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. viii+80 pp.
• P.L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The limit case. I. Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985), no. 1, 145—201.
• Elliott H. Lieb and Michael Loss. Analysis. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xxii+346 pp.
• Michel Willem. Minimax theorems. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x+162 pp.